El lector bien conoce la constante de Fibonacci, la raíz mayor que 1 a la ecuación cuadrática x^2=x+1, que surge al estudiar el comportamiento asintótico de la sucesión recursiva definida como F_0=0,F_1=1, F_{n+1}=F_n+F_{n-1}.
Consideremos ahora otro caso, otro tipo de sucesión, la dada por T_0=0,T_1=0,T_2=1,T_{n+1}=T_n+T_{n-1}+T_{n-2}. Mientras que en la de Fibonacci cada elemento se definía como la suma de los dos anteriores, aquí se define como la suma de los 3 anteriores. Esta secuencia es la A000073 en la OEIS. Otras secuencias también reciben el nombre de secuencia de Tribonacci según los iterantes iniciales, pero todas satisfaciendo la misma relación de recurrencia, y por ende el mismo comportamiento asintótico.
Aquí la constante de Tribonacci es la raíz mayor que 1 a la ecuación cúbica x^2=x^2+x+1, que se puede reescribir como x^4-2x^3+1=0. Este constante es la misma independientemente de la definición de iterantes iniciales, ya que solo depende de la relación de recurrencia. En virtud de la fórmula de Cardano, este número acepta una fórmula cerrada para poder escribirse: x = \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33\,}\,}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33\,}\,}}{3} = \frac{1}{3}+\frac{4}{3}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{19}{8}\right)\right) \approx 1\text{'}8392867552141611325518525646533\cdots Veamos algunos gráficos:
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Consideremos ahora otro caso, otro tipo de sucesión, la dada por T_0=0,T_1=0,T_2=1,T_{n+1}=T_n+T_{n-1}+T_{n-2}. Mientras que en la de Fibonacci cada elemento se definía como la suma de los dos anteriores, aquí se define como la suma de los 3 anteriores. Esta secuencia es la A000073 en la OEIS. Otras secuencias también reciben el nombre de secuencia de Tribonacci según los iterantes iniciales, pero todas satisfaciendo la misma relación de recurrencia, y por ende el mismo comportamiento asintótico.
Aquí la constante de Tribonacci es la raíz mayor que 1 a la ecuación cúbica x^2=x^2+x+1, que se puede reescribir como x^4-2x^3+1=0. Este constante es la misma independientemente de la definición de iterantes iniciales, ya que solo depende de la relación de recurrencia. En virtud de la fórmula de Cardano, este número acepta una fórmula cerrada para poder escribirse: x = \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33\,}\,}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33\,}\,}}{3} = \frac{1}{3}+\frac{4}{3}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{19}{8}\right)\right) \approx 1\text{'}8392867552141611325518525646533\cdots Veamos algunos gráficos:
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| Sucesión en escala logarítimica. Nótese que tiene un comportamiento geométrico asintóticamente |
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| Ratio de dos términos consecutivos de la sucesión de Tribonacci |
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
