(1193) - Oligonomios. Los polinomios de pocos términos

Los oligonomios o polinomios lacunarios son polinomios con muy pocos términos. Los polinomios se definen como suma de monomios, que muchas veces los monomios se definen a posteriori como cada uno de los términos o sumandos de los polinomios (dando una definición circular). Un polinomio de grado $d$ en $n$ variables tendrá a lo sumo $\displaystyle\binom{d+n}{n}=\binom{d+n}{d}$. Es decir, si denotamos al grado $d$, un polinomio en $1$ variable tendrá a lo sumo $d+1$ términos; un polinomio en $2$ tendrá a lo sumo $\displaystyle\frac{(d+2)(d+1)}{2}$ términos, ... Un bonito resultado que se deja al lector como ejercicio. Nótese que: $$ \binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{d^n}{n!} + \mathcal{O}(d^{n-1}) \qquad (d\to\infty) $$ O lo que es lo mismo $$ \binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{n^d}{d!} + \mathcal{O}(n^{d-1}) \qquad (n\to\infty) $$ Los oligonomios, al tener solo unos pocos términos, son mucho más fáciles de evaluar y operar. Por ejemplo, dado un polinomio cúbico mónico, $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, si uno quiere saber sus raíces, primero hay que llevarlo a la forma de Cardano $z^3+pz+q$ donde ha desaparecido un término. Si casualmente o bien $p$, o bien $q$ son 0, hallar las raíces es mucho más fácil aún. O consideremos un polinomio cuadrático mónico, $x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$. Si es par, es decir, $a_3=a_1=0$, se convierte en un bicuadrático donde de los 5 posibles términos solo aparecen 3 y cuyas raíces se pueden obtener con la fórmula cuadrática en vez del horror que es la cuártica. Otro ejemplo son los polinomios quínticos mónicos, $x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, que se pueden llevar a la forma de Bring–Jerrard, $z^5+z+a$, donde de los 6 posibles términos solo hay 3, y de los 5 coeficientes arbitrarios, solo hay 1, lo que facilita el estudio de este tipo de polinomios. A veces los oligonomios aparecen en la suma o producto de polinomios "completos". Veamos algunos ejemplos: $$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $$ Donde de los 10 posibles términos solo aparecen 2. $$ (x - y)(x^{d-1}+x^{d-2}y+\cdots+xy^{d-2}+y^{d-1}) = (x-y) \sum_{k=0}^{d-1} x^k y^{d-1-k} = x^d - y^d $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.