El lector conocerá la definición de número irracional:
i \in \mathbb{R}\text{ es irracional } \Leftrightarrow \nexists p,q \in \mathbb{Z}\text{ tal que }i=\frac{p}{q}.
Es trivial probar que \sqrt{2} es irracional (de ahí su estatus de ejemplo estándar). Pero cuando nos salimos de los números algebraicos, la cosa ya no es tan sencilla.
\phantom{meter un espacio así}
Aquí nos fijaremos en el número e. Recordemos que
e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots \approx 2,718.
Supongamos que e fuera racional, e=p/q donde p y q no comparten factores primos. Llamemos \displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} a las sumas parciales. Se pueden dar dos casos:
Probar que e es trascendente (es decir, no algebraico) es poco trivial (enlace). Un poco más fácil es probar que \pi es irracional (enlace). Por último, probar que \pi es trascendente es aún más interesante (léase, complicado).
- que e=S_n para cierto n.
- que e \neq S_n para ningún n.
Probar que e es trascendente (es decir, no algebraico) es poco trivial (enlace). Un poco más fácil es probar que \pi es irracional (enlace). Por último, probar que \pi es trascendente es aún más interesante (léase, complicado).