(787) - Sobre el número e

El lector conocerá la definición de número irracional: \[ i \in \mathbb{R}\text{ es irracional } \Leftrightarrow \nexists p,q \in \mathbb{Z}\text{ tal que }i=\frac{p}{q}. \] Es trivial probar que $\sqrt{2}$ es irracional (de ahí su estatus de ejemplo estándar). Pero cuando nos salimos de los números algebraicos, la cosa ya no es tan sencilla. \phantom{meter un espacio así} Aquí nos fijaremos en el número $e$. Recordemos que \[ e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots \approx 2,718. \] Supongamos que $e$ fuera racional, $e=p/q$ donde $p$ y $q$ no comparten factores primos. Llamemos $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ a las sumas parciales. Se pueden dar dos casos:

• que $e=S_n$ para cierto $n$.
• que $e \neq S_n$ para ningún $n$.

El primer caso es obvio que no va a ser. Para estudiar el segundo caso, \mbox{consideremos} el resto $e-S_n$: \begin{align*} e-\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} &= \frac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots \right)\\ &\leqslant \frac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)^2}+\ldots \right)\\ &\leqslant \frac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}+\ldots \right) = (\#) \end{align*} Ahora bien, $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\ldots\right)$ es una serie geométrica. Por tanto \[ (\#)=\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{(n+1)!}\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n}\frac{1}{n!}. \] Si $e$ fuera racional, entonces $r=e-S_n$ también sería racional. Pero la cuenta anterior nos dice que \[ e-S_n \leqslant \frac{1}{n}\frac{1}{n!} \xrightarrow[\substack{n\to\infty}]{} 0, \] lo que implica que $r=0$, absurdo. está mal hecho, pero son las 5 de la mañana
Probar que $e$ es trascendente (es decir, no algebraico) es poco trivial (enlace). Un poco más fácil es probar que $\pi$ es irracional (enlace). Por último, probar que $\pi$ es trascendente es aún más interesante (léase, complicado).