$$ \boxed{ \begin{matrix} \displaystyle \int_0^1 x^{-x}\;\text{d}x & = & \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-n} & \approx & 1.291285\dots \\ \displaystyle \int_0^1 x^x \;\text{d}x & = & - \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n} & \approx & 0.7834305\dots \\ \end{matrix} } $$
Estas identidades las dedujo el matemático suizo Johann Bernoulli ( $1667-1748$ ) en $1697$ , quien fuera mentor de Euler.
Tanto $x^{-x}$ como $x^x$ no tienen integrales indefinidas que se puedan expresar en términos de sumas finitas y composiciones de funciones elementales, sin embargo, se puede hallar su integral definida a través de series de una forma sencilla: Primero se expresan $x^{-x}$ y $x^x$ como exponenciales, $e^{-x \ln(x)}$ y $e^{x \ln(x)}$ respectivamente, luego usando la serie de McLaurin de la exponencial, $\displaystyle e^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}t^n $ . Al llegar a este momento pasamos a una integral de una serie (que bajo las hipótesis correctas) [y] dada la linealidad de la integral, se "intercambian": se pasa a una serie de integrales. Cada una de esos integrandos, salvo constantes, son $x^n\ln^n(x)$ , que integrando por partes y evaluando en el intervalo $[0,1]$ , obtenemos el resultado de la integral. Estos resultados son de los pocos que son muy bonitos para ser verdad, pero aún así lo son. Nótese la similitud integrando-sumando: $x^{-x}$ con $n^{-n}$ , y además $x^x$ con $-(-n)^{-n}$ .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
