\boxed{ \begin{matrix} \displaystyle \int_0^1 x^{-x}\;\text{d}x & = & \displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-n} & \approx & 1.291285\dots \\ \displaystyle \int_0^1 x^x \;\text{d}x & = & - \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n} & \approx & 0.7834305\dots \\ \end{matrix} }
Estas identidades las dedujo el matemático suizo Johann Bernoulli ( 1667-1748 ) en 1697 , quien fuera mentor de Euler.
Tanto x^{-x} como x^x no tienen integrales indefinidas que se puedan expresar en términos de sumas finitas y composiciones de funciones elementales, sin embargo, se puede hallar su integral definida a través de series de una forma sencilla: Primero se expresan x^{-x} y x^x como exponenciales, e^{-x \ln(x)} y e^{x \ln(x)} respectivamente, luego usando la serie de McLaurin de la exponencial, \displaystyle e^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}t^n . Al llegar a este momento pasamos a una integral de una serie (que bajo las hipótesis correctas) [y] dada la linealidad de la integral, se "intercambian": se pasa a una serie de integrales. Cada una de esos integrandos, salvo constantes, son x^n\ln^n(x) , que integrando por partes y evaluando en el intervalo [0,1] , obtenemos el resultado de la integral. Estos resultados son de los pocos que son muy bonitos para ser verdad, pero aún así lo son. Nótese la similitud integrando-sumando: x^{-x} con n^{-n} , y además x^x con -(-n)^{-n} .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
