La Comprensión Humana a Través de la Lógica (I): Introducción
Antes de entrar de lleno en el artículo, ofrezcámosle un poco de protagonismo al concepto subyacente tras la palabra Lógica.
Este término proviene del concepto griego del “Logos”, traducido normalmente a nuestro idioma como palabra, término que no le define con total precisión. No solo debemos entender el Logos como una unidad léxica cualquiera, sino que también debe ser comprendido como “Fuerza creadora de sólidas estructuras lingüísticas e intelectuales”.
El concepto de lógica nació con Aristóteles en la Antigua Grecia en la disciplina que hoy se conoce como Lógica Aristotélica o de Silogismos. El filósofo pretendía crear una fuerte materia para la formación de razonamientos válidos, plasmando todos estos conocimientos en su obra Órganon. Sin embargo, la mayor profundización en este campo ha hecho que hoy en día esta disciplina más que milenaria únicamente posea valor histórico.
Actualmente entendemos que la lógica es la ciencia formal que estudia los principios de las inferencias. A su vez podemos definir el concepto de inferencia como el conjunto de conclusiones que obtendremos mediante el análisis de premisas. Y para acabar, una premisa es aquella idea que podemos extraer en un entorno o situación. Pongamos una conversación como ejemplo para digerir todos estos conceptos mejor.
Ejemplo:
- A: Mañana es martes.
- B: Pues los martes trabajo.
…
Suponiendo que ni A ni B están mintiendo, si analizamos el fragmento de su conversación las premisas obtenidas son:
* Mañana es martes
* B trabaja los martes
A partir de estas dos podemos concluir que B trabaja mañana. El formular un razonamiento a través de las premisas es la inferencia.
Establezcamos una distinción entre los tipos de premisas existentes, tal y como lo hacía Aristóteles en los silogismos, que nos ayudará a entender posteriormente con más claridad las inferencias:
-Premisa Particular: El núcleo existente en el sujeto de la premisa no es ni plural ni colectivo.
-Premisa General o Universal: El núcleo del sujeto es plural o colectivo.
-Premisa Indefinida: Queda indeterminado cuántos elementos del sujeto se han visto afectados.
Ejemplos por Orden de Aparición:
1. El pino se ha quemado (Particular)
2. El pinar se ha quemado (Global)
3. Algunos pinos se han quemado (Indefinida)
Dado que las conclusiones también pueden ser entendidas como premisas si las tomamos como hipótesis de una inferencia, a partir de ahora no haremos distinción entre ellas y nos referiremos a ambas como Enunciados.
Continuando con el concepto de inferencia, la lógica divide a estas en tres grupos distintos:
- Inducción
- Deducción
- Abducción
Ahora brindaremos un breve desarrollo de cada una de ellas.
INDUCCIÓN: Se trata de elaborar enunciados generales a través de varios enunciados particulares atendiendo a que, si varios elementos de un conjunto satisfacen una propiedad, entonces todo el conjunto va a satisfacer dicha propiedad. Un ejemplo de este tipo de razonamientos es el siguiente:
- El cuervo 1 es negro.
- El cuervo 2 es negro.
…
- El cuervo n es negro.
à A partir de las n premisas inducimos que todos los cuervos son negros.
Sin embargo, epistemológicamente hablando (o en lo que a la búsqueda de razonamientos válidos se refiere), definimos el Problema de la Inducción.
Dicho problema parte de la definición que dio Platón sobre el conocimiento como “Creencia verdadera y justificada”, sin embargo, no sería hasta el siglo XVIII cuando el filósofo y economista David Hume hablase abiertamente de este y desmontase los razonamientos inductivos mediante una simple analogía:
Hume y los cisnes:
Durante épocas pasadas, en Europa se denotaba la expresión Cisne Negro como un suceso imposible, no se conocían otros cisnes que no fueran los blancos y era razonable pensar que todas estas aves eran del mismo color, por lo que se tomó cierta dicha suposición.
Sin embargo, en 1697 el explorador Willem Hesselsz de Vlamingh encontró al cisne negro durante una de sus expediciones, negando rotundamente el postulado anterior.
Afirmó Hume gracias a este hallazgo lo siguiente:
“Ningún número de observaciones de cisnes blancos nos permite inferir que todos los cisnes son de dicho color, pero la observación de un único cisne negro nos basta para refutar el enunciado anterior”
Generalizando esta afirmación, vemos que esto es válido llevado a cualquier campo. Ahora bien, dado que la inducción es una útil herramienta para la generación de hipótesis, ¿alguna de las conclusiones que podemos obtener mediante este tipo de razonamientos puede ser considerada válida? Esto dependerá de la “Fuerza Inductiva” que definiremos como la consistencia que poseen los dichos razonamientos inductivos o, en otras palabras, cuán complicado sea el negarlos.
Gracias a la fuerza inductiva podremos dividir estas inferencias en dos tipos:
- Inducciones Fuertes: Aquellas que son complicadas de refutar o no se puede, pues su construcción se sostiene en una fuerte estructura booleana. Un ejemplo de estos son:
* El contraejemplo: Se trata de suponer cierta una propiedad para los elementos de un entorno, y ver que uno de ellos no lo cumple.
En el caso de los cisnes, el conjunto de todos los cisnes es el entorno, lo que suponemos es que todos los cisnes son blancos, encontramos al cisne negro y deducimos que No todos los cisnes son blancos.
Esta técnica se basa en una corriente filosófica perteneciente al campo de la epistemología llamada Falsacionismo, presentada por Karl Popper en su obra La lógica de la investigación científica. En ella se expone la tesis de que la investigación científica no avanza confirmando nuevas leyes, sino descartando aquellas que ocasionen un obstáculo para la experiencia. Cuando descartamos una de estas leyes decimos que ha sido falsada.
Veremos que las ideas falsacionalistas de Popper no siempre son la solución a nuestros problemas. La tesis de Quine-Duhem, también conocida como Holismo Confirmacional, prueba que no es posible demostrar, en ciertos casos, la falsedad de un enunciado. Retomaremos este tema una vez nos inmiscuyamos en lógica de proposiciones, pero adelantaremos que el contraejemplo en las matemáticas es un argumento irrefutable.
* La inducción matemática: Es una demostración muy utilizada para comprobar que los elementos de un conjunto bien ordenado satisfacen una propiedad hasta un elemento n+1, dónde n es un elemento del conjunto tomado sin pérdida de generalidad.
La primera referencia de este procedimiento la encontramos en el Parménides de Platón en el año 370 a.C. Sin embargo, no sería hasta el siglo XIX que llegase la formalización de la Inducción Matemática de la mano de George Boole, Augustus de Morgan, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano y Richard Dedekind.
Este procedimiento consta de 3 partes:
1. Base Inductiva: Se trata de evaluar la propiedad para los primeros elementos del conjunto basándonos en el buen orden. Este paso posee gran importancia por dos motivos: Si no se tiene clara idea de que forma posee la propiedad, se puede inducir a través de los resultados (aunque esta primera inducción no demuestra que sea cierta para los elementos del conjunto) y es el comienzo de la Inducción Matemática.
2. Hipótesis de Inducción: Se supone cierta la propiedad para un valor xn perteneciente al conjunto, escogido sin pérdida de generalidad, donde n representa la posición del elemento en el conjunto según el buen orden.
3. Paso Inductivo: Se demuestra que la propiedad se cumple para xn+1, y por hipótesis, como xn ha sido escogido sin pérdida de generalidad, podemos tomar xn = xn0, donde xn0 es un valor evaluado en la base inductiva y para el cuál se cumple la propiedad, por tanto xn0+1 también la cumplirá.
Finalmente, mediante un razonamiento recursivo, como xn0+1 satisface la hipótesis, xn0+2 también cumplirá la propiedad y por recurrencia, todo valor que siga a xn0+2 satisface a esta.
Hemos de aclarar que, para muchos matemáticos, durante mucho tiempo las demostraciones realizadas mediante inducción no daban lugar a razonamientos válidos.
Ejemplo:
Vamos a intentar encontrar una fórmula que calcule la siguiente suma:
Si nos fijamos, este sumatorio hace referencia a los elementos del conjunto de los naturales, y este a su vez, es un conjunto dotado de buen orden.
Base de Inductiva:
Si n = 1: à La suma es igual a 1
Si n = 2: à La suma es igual a 3
Si n = 3: à La suma es igual a 6
...
Podemos observar que si continuamos con las sumas, los resultados parecen obedecer el siguiente patrón:
Observemos si nuestra hipótesis satisface las condiciones:
Hipótesis de Inducción:
Supongamos que para cierto k perteneciente al conjunto de los naturales se cumple que:
Paso Inductivo:
Probemos que se cumple para k+1:
Por Hipótesis de Inducción sabemos que:
Quedando la fórmula demostrada para todos los elementos del conjunto de los naturales.
No vamos a tratar sobre las Inducciones Débiles en este artículo, pues no proporcionan ningún tipo de argumento válido, y por lo tanto no deben ser inferencias contempladas en la lógica (un ejemplo de estos, es el famoso razonamiento que induce que “Todos los cisnes son blancos”).
Daremos por concluida la parte del artículo que trata sobre la Inducción para centrarnos en la nueva inferencia:
DEDUCCIÓN: La Deducción es aquella inferencia en la que, a partir de una Premisa Global o General, podemos deducir un razonamiento particular.
Ejemplo:
-Todos los cuervos son negros.
-Pepe tiene un cuervo.
à A partir de esta premisa deducimos que el cuervo de Pepe es negro.
Normalmente, para formalizar un razonamiento deductivo, utilizamos las “Reglas de Inferencia”, las cuales explicaremos con todo lujo de detalles en el siguiente artículo.
Únicamente haremos mención a una de ellas llamada Modus Ponendo Ponens, y dice así:
“Si la premisa A implica a la premisa B, y sabemos que la premisa A es cierta, entonces la premisa B también es cierta”
Mediante esta norma, veremos que las dos inducciones fuertes que hemos mostrado antes como ejemplo, también pueden ser vistas como deducciones.
Contraejemplo:
Podemos entender este método de inferencia mediante la aplicación del Modus Ponendo Ponens a las siguientes inferencias.
-Si un elemento del entorno no cumple la propiedad,
la propiedad no se cumple en el entorno.
-Existe un elemento del entorno que no cumple la propiedad.
à La propiedad no se cumple en el entorno.
Parece que falla un pequeño aspecto en este razonamiento, y es que mediante un enunciado particular hemos concluido otro global, y no hemos definido los razonamientos inductivos de esta manera. Veremos en el artículo siguiente, que con un paso al contrarrecíproco salvaremos este pequeño bache.
Inducción Matemática:
Tomemos la siguiente premisa:
-Si todos los elementos del conjunto cumplen una propiedad,
entonces el conjunto satisface dicha propiedad.
Solo debemos comprobar que todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad, cosa que hemos demostrado con el razonamiento recursivo:
à Todos los elementos del conjunto satisfacen la propiedad.
Tomemos aquello que acabamos de concluir como una nueva premisa y deduzcamos finalmente mediante la regla de Modus Ponendo Ponens que:
-El conjunto cumple dicha propiedad.
Por ello podemos estar seguros de que una inducción fuerte puede ser tomada como un razonamiento válido, pues puede ser traducida en forma de deducción o inferida a través de las normas lógicas.
Por último, hablaremos de los razonamientos abductivos:
ABDUCCIÓN: No nos centraremos bastamente en este tipo de razonamientos, pues aleatoriamente pueden ser Falacias (Razonamientos falsos) o Tautologías (Razonamientos veraces).
La idea principal de estos es ofrecer la explicación más “lógica” y más probable a los sucesos que ocurren un entorno. Ofrezcamos la Teoría del Big Bang como ejemplo.
Teoría del Big Bang:
Intentando dar una explicación al origen del universo, en 1948 el físico George Gamow planteó una teoría en la que este se formó hace millones de años a partir de una gran explosión. Dicha teoría ha ido cobrando relevancia con el paso de los años, llegándose a considerar la explicación más probable al origen de todo, pero lo cierto es que aún no se ha llegado a demostrar.
A pesar de ello, esta es considerada cierta a ojos de la física y muchas de las teorías que se formulan hoy en día giran alrededor de esta.
Lógicamente no podemos inferir que el Big Bang sea cierto. Pero si que podemos inferir lo siguiente:
-Hoy por hoy, el Big Bang es la causa más probable de la formación del universo.
-El universo existe.
à Lo más probable es que el Big Bang originase el universo.
Sin embargo, epistemológicamente hablando, este concepto no tiene ninguna validez. Si mañana un físico nos propone un modelo sobre la creación del universo más probable, la anterior afirmación se convierte en una falacia.
Finalizaremos este artículo revelando el tema a tratar en el artículo siguiente: Algebra Booleana y Lógica de Proposiciones.
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