(733) - Integral Asociada de Lebesgue. Mejor que Riemann (con GIFs descargables) (3/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales de Riemann, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos $I_k = [x_{k-1},x_k]$ que pertenecen a la partición $\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral de Riemann
La suma asociada de Riemann, $\sigma(f,\mathcal{P}_n,T)$ , es la suma de las áreas de los rectángulos-verticales que aproximan la función $f$ en cada subintervalo $I_k$ . En cada subintervalo $I_k$ se considera un nodo $t_k$ tal que el valor de la función $f$ evaluada en dicho nodo, $f(t_k)$, sea una buena aproximación de la altura media de la función en dicho subintervalo. Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ . Se denota por $T$ a la colección de todos los nodos $t_k$ , es decir, $T=\left\{t_k \; /\; k=1,\cdots,n\right\}$ , mientras que el par $(\mathcal{P}_n,T)$ a veces se escribe como $\dot{\mathcal{P}}_n$ . $$\begin{matrix} \displaystyle \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \implies \displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\mathcal{P}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \\ \displaystyle \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \implies \displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\dot{\mathcal{P}}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \end{matrix}$$

Nótese que según $n$ aumenta, llega un momento que (al menos visualmente) son indistinguibles 

Integral de Riemann - variando los nodos
Aquí vemos variando el nodo $t_k$ en cada subintervalo $I_k$ (tomando cada uno con la misma definición respecto a los extremos del subintervalo). Así pues pasamos de una suma de Riemann por la izquierda ( $\lambda=0$ ) a una del punto medio ( $\lambda=0.5$ ) y finalmente a una por la derecha ( $\lambda=1$ ). $$\lambda_k\in[0,1] \,/\, t_k \overset{\text{def}}{=} (1-\lambda_k)x_{k-1}+\lambda_k x_k\in I_k \in \mathcal{P}_n\big([a,b]\big) \implies \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) = \sum_{k=1}^n f\big((1-\lambda)x_{k-1}+\lambda x_k\big) \Delta x_k$$

Integral asociada de Lebesgue

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue (conjuntos elementales asociados de Lebesgue) y desagamos el valor absoluto suponiendo que $f(x)\geqslant 0$: $$E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$ Es decir, $$y_n-\varepsilon\lneq f(x) \lneq y_n+\varepsilon \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir la cotas $y_n\pm\varepsilon$ como funciones escalonadas $(y_n\pm\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que valen exactamente $y_n\pm\varepsilon$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. $$(y_n-\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)\lneq f(x) \lneq (y_n+\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \iff \bigg| f(x)-y_n\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \bigg| \lneq \varepsilon\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$$ Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$(y_n-\varepsilon)\mu(E_n) \lneq \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x) \lneq (y_n+\varepsilon)\mu(E_n) \implies \Bigg| \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x)-y_n\mu(E_n) \Bigg| \lneq \varepsilon\mu(E_n)$$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$\sum_{n=1} (y_n-\varepsilon)\mu(E_n) \lneq \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x) \lneq \sum_{n=1} (y_n+\varepsilon)\mu(E_n) \implies \Bigg| \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x)-\sum_{n=1}y_n\mu(E_n) \Bigg| \lneq \varepsilon\mu(E)$$ ¿Hemos terminado? Realmente sí. Hemos encontrado una función escalonada $\displaystyle \phi_n(x)\overset{\text{def}}{=} \sum_{n=1} y_n\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ que dista de $f(x)$ a lo sumo tan poco como queramos, $\varepsilon$ , y que sendas integrales también distan tan poco como queramos, $\varepsilon\mu(E)$ . A este valor (de la integral de $\phi_n(x)$) lo acuño como suma o integral asociada de Lebesgue. $$\int\limits_{[a,b]} \! f(x) \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n)$$

Integral asociada de Lebesgue

 
Refinando la secuencia de nodos de ordenadas o $\varepsilon$ se encuentra una aproximación mejor. 

Integral asociada de Lebesgue - variando la secuencia de los $y_n$

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(727) - Integral Superior de Lebesgue. Mejor que Darboux (con GIFs descargables) (2/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales superiores de Darboux, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos de la partición $I_k \overset{\text{def}}{=} [x_{k-1},x_k] \in\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral superior de Daboux
La suma superior de Darboux, $s(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales minimales que contienen la función $f$ . Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ . $$\begin{matrix}\displaystyle S(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \sup_{x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k &\quad &\displaystyle 0 \leqslant \big|f(x)\big| \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \sum_{n=1} y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) = \phi_n(x) \\ \displaystyle \mkern2.5mu\underline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-15mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \inf_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{S(f,\mathcal{P}_n)\big\} &\quad &  \displaystyle \overline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\}\ \end{matrix}$$

Sumas superiores e inferiores de Darboux

Integral superior de Lebesgue 

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue y centrémonos en la primera desigualdad: $$E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$ Es decir, $$y_n\gneq\big|f(x)\big| \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir $y_n$ como la función escalonada $y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que vale exactamente $y_n$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \gneq \big|f(x)\big| \implies \int\limits_{E_n} \! \ y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq y_n\,\mu(E_n) \gneq \int\limits_{E_n} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x)$$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$\sum_{n=1} y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \overset{\text{def}}{=} \phi_n(x) \gneq \big|f(x)\big| \implies \int\limits_{E} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \gneq \int\limits_{E} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x)$$ ¿Hemos terminado? Casi. Hemos encontrado una cota superior, pero no la óptima, esa es su ínfimo, $\displaystyle \inf\Bigg\{\sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\}$ , que se puede hallar al ir refinando los conjuntos elementales. A este valor lo acuño como suma o integral superior de Lebesgue $$\underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\}$$

Suma superior de Lebesgue

Con estos mismos conjuntos se puede hallar fácilmente la integral en espacios $L^p$ de $|f|^p$ donde es: $$\underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big|^p \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! {\phi_n}^p(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} {y_n}^p\,\mu(E_n) \Bigg\}$$



Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.