Las matemáticas de San Bourbaki 2017
Recomiendo al lector que antes de comenzar a leer este
artículo, si no conoce la tradición de San Bourbaki llevada a cabo por los
matemáticos de la Universidad de Valladolid, visite este artículo de nuestro
blog:
Pues bien, una vez conocida la tradición, pasemos a hablar
de las matemáticas contenidas en el logotipo de San Bourbaki 2017, he aquí el
logo:
Estas hacen referencia a una acertada frase del Dr. Felipe
Cano Torres, nacido en Valladolid, catedrático de matemática pura (geometría y
topología) en la facultad de ciencias de la UVa . Esta frase dice que un buen matemático es aquel que
tiene las 3 potencias del alma (concepto de San Agustín); siendo estas
inteligencia, voluntad y memoria.
Primero, antes de hablar sobre el plano de Fano se define a
la geometría proyectiva como la rama de la geometría que estudia los objetos lineales (puntos,
líneas, planos, hiperplanos, etcétera) y cómo se intersecan. Estos objetos son
estudiados en espacios que tiene más puntos que los espacios usuales y se
denominan espacios proyectivos.
Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas
de incidencia entre puntos y rectas:
(i) Dos puntos determinan una única recta.
(ii) En cada recta hay al menos tres puntos.
(iii) Hay tres puntos no alineados.
(iv) Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto.
Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el
que se señalan ciertos subconjuntos como las rectas y se define la relación de
incidencia punto pertenece a recta, entonces tenemos un plano proyectivo.
Los axiomas que definen un
plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntos finitos de puntos y rectas,
situación que se aleja de la intuición geométrica más inmediata. Se tienen en
este caso los planos proyectivos finitos. La Geometría Proyectiva finita fue considerada
ya por Von Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores.
Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952).
Gino Fano (1871-1952).
Es claro que, si un plano proyectivo finito está definido
sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Se demuestra entonces que, si el cuerpo
tiene p elementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p² puntos, y el mismo
número 1+p+p² de rectas. De este modo, el plano proyectivo finito más pequeño
está definido sobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7 puntos y 7
rectas (la circunferencia también es una de las rectas proyectivas). Este plano de siete puntos se representa mediante la configuración
siguiente, que muestra las incidencias de puntos y rectas. Esta configuración
se denomina plano de Fano, pues fue Gino Fano en 1892 quien primero consideró esta
configuración y otras análogas en dimensión superior.
Plano de Fano.
Para
terminar el artículo podemos observar en la parte inferior el nombre de Lord
Vandermonde sustituyendo este a Lord Voldemort.
Alexandre-Théophile
Vandermonde fué un matemático y violinista francés que trabajó con Bézout y
Lavoisier, en la actualidad su nombre va principalmente asociado a la teoría de
los determinantes en matemáticas, siendo una matriz de Vandermonde, en álgebra
lineal, una matriz que presenta una progresión geométrica en cada fila. Los
índices de la matriz de tamaño n×n están descritos por para todos los índices i
y j variando de 1 a n
lo cual se
puede describir explícitamente de la forma siguiente:
Pudiendo
calcular el determinante de esta con la fórmula:
Y hasta aquí ha llegado el artículo que espero que haya sido del agrado del lector y ya solo me queda decir: ole, ole, San Bourbaki, ole, ole, nuestro santo.
Artículo escrito por Carlos Saravia.
Artículo escrito por Carlos Saravia.
