martes, 5 de diciembre de 2017

(367) Las matemáticas de San Bourbaki 2017

Las matemáticas de San Bourbaki 2017

Recomiendo al lector que antes de comenzar a leer este artículo, si no conoce la tradición de San Bourbaki llevada a cabo por los matemáticos de la Universidad de Valladolid, visite este artículo de nuestro blog:



Pues bien, una vez conocida la tradición, pasemos a hablar de las matemáticas contenidas en el logotipo de San Bourbaki 2017, he aquí el logo:


Estas hacen referencia a una acertada frase del Dr. Felipe Cano Torres, nacido en Valladolid, catedrático de matemática pura (geometría y topología) en la facultad de ciencias de la UVa . Esta frase dice que un buen matemático es aquel que tiene las 3 potencias del alma (concepto de San Agustín); siendo estas inteligencia, voluntad y memoria.


Primero, antes de hablar sobre el plano de Fano se define a la geometría proyectiva como la rama de la geometría que estudia los objetos lineales (puntos, líneas, planos, hiperplanos, etcétera) y cómo se intersecan. Estos objetos son estudiados en espacios que tiene más puntos que los espacios usuales y se denominan espacios proyectivos.

Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entre puntos y rectas:

(i) Dos puntos determinan una única recta.
(ii) En cada recta hay al menos tres puntos.
(iii) Hay tres puntos no alineados.
(iv) Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto.

Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se señalan ciertos subconjuntos como las rectas y se define la relación de incidencia punto pertenece a recta, entonces tenemos un plano proyectivo.

Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntos finitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométrica más inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos. La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por Von Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores. Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952).

Gino Fano (1871-1952).

Es claro que, si un plano proyectivo finito está definido sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Se demuestra entonces que, si el cuerpo tiene p elementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p² puntos, y el mismo número 1+p+p² de rectas. De este modo, el plano proyectivo finito más pequeño está definido sobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7 puntos y 7 rectas (la circunferencia también es una de las rectas proyectivas). Este plano de siete puntos se representa mediante la configuración siguiente, que muestra las incidencias de puntos y rectas. Esta configuración se denomina plano de Fano, pues fue Gino Fano en 1892 quien primero consideró esta configuración y otras análogas en dimensión superior.
Plano de Fano.

Para terminar el artículo podemos observar en la parte inferior el nombre de Lord Vandermonde sustituyendo este a Lord Voldemort.

Alexandre-Théophile Vandermonde fué un matemático y violinista francés que trabajó con Bézout y Lavoisier, en la actualidad su nombre va principalmente asociado a la teoría de los determinantes en matemáticas, siendo una matriz de Vandermonde, en álgebra lineal, una matriz que presenta una progresión geométrica en cada fila. Los índices de la matriz de tamaño n×n están descritos por para todos los índices i y j variando de 1 a n

{\displaystyle V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}}

lo cual se puede describir explícitamente de la forma siguiente:




Pudiendo calcular el determinante de esta con la fórmula:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}V\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})}

Y hasta aquí ha llegado el artículo que espero que haya sido del agrado del lector y ya solo me queda decir: ole, ole, San Bourbaki, ole, ole, nuestro santo.

Artículo escrito por Carlos Saravia.

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