(373) Ilustración del principio de dualidad

Dualidad

La geometría ha cautivado la mente humana desde que se tiene registro del pensamiento, y probablemente desde que ha habido pensamiento. La belleza de las formas geométricas y su omnipresencia en la naturaleza, como subterfugios de orden en un mundo de caos (dejando a parte procesos caóticos como el clima) ha sido objeto de culto y estudio por todas las culturas. Tras el paso de los milenios, el hombre ha encontrado (o inventado, o querido ver dónde no había nada... pero no deseamos entrar en esa discusión) objetos geométricos curiosísimos, siendo buen ejemplo de esto la botella de Klein o la trompeta de Gabriel. Sin embargo, no se necesitan tales abstracciones para sorprender a quien esté leyendo esto, basta con que tome papel, lápiz (y goma de borrar) y siga las siguientes indicaciones:

Dibujemos dos puntos, llamémoslos A y B. Esos dos puntos determinan una única recta c.

 

De acuerdo, aun no es muy sorprendente, o al menos se ha visto las veces suficientes como para que deje de sorprender, pero sigamos dibujando e ignoremos la referencia  a Hume que suscita lo anterior. Consideramos ahora las rectas a y b, estas rectas intersecan en un único punto C (suponemos que no hay rectas paralelas, volveremos sobre esto más adelante).

¿Aun no se ha sorprendido? Bueno, ante lector tan impertérrito habrá que sacar la artillería. Vamos con la configuración de Pappus de Alejandría,  matemático griego que vivió entre los siglos III y IV.

Consideramos dos rectas, pongamos que l y r, que intersecan en un punto O. Ahora tomamos los puntos, A, B, y C en r y A’, B’ y C’ en l. Trazamos las rectas que pasan por A y B’ y por B y A’; sea C1 su intersección. Hacemos lo mismo con las recta que pasa por A y C’, y con la que pasa por C y A’; sea C2 su intersección. Por último consideramos la recta que pasa por B y C’ y la que pasa por B’ y por C; sea C3 su intersección. Pues bien, el teorema de Pappus asegura que C1, C2 y C3 están alineados siguiendo una recta a la que llamaremos s. Nuevamente, estamos suponiendo que siempre hay intersección entre rectas.

 Hemos coloreado dos rectas para que se vea mejor, pero el lector puede seguir con su lápiz y su fiel goma de borrar. El uso de regla, aunque sensato, priva a nuestros dibujos del romanticismo que otorga el no saber si va a salir bien o no, por lo que no lo recomendamos.

Vamos con el último resultado antes de explicar qué estamos haciendo. Se recomienda usar regla, a pesar de la falta de romanticismo, la cual puede compensarse usando colorines para no perderse. Consideramos los puntos L y R. Sean a, b y c tres rectas que pasan por L y sean a’, b’ y c’ otras tres rectas que pasan por R. Sea c1 la recta que pasa por la intersección de a y b’ y por la intersección de b y a’. Sea c2 la recta que pasa por la intersección de a y c’ y por la intersección de c y a'. Por último, sea c3 la recta que pasa por la intersección de b y c’ y por la intersección de c y b’. Pues bien, estas tres rectas intersecan en un punto al que llamaremos S.

Pido ahora al lector que revise los enunciados 1 y 2, y asimismo los enunciados 3 y 4. Efectivamente, puede apreciarse una relación entre cada pareja. Hemos intercambiado puntos por rectas, uniones por intersecciones y los sentidos en las relaciones de contenecia. Al resultante de este intercambio se le llama “enunciado dual” y resulta ser cierto si y sólo si lo es el primero. No entraremos aquí en la demostración de que esto sea cierto, pero un lector curioso no debería tener problemas para encontrarla, por lo común de esta.

Por supuesto, en todos los enunciados hemos supuesto que dos rectas cualesquiera se cortan, esto es, que no hay paralelismo. La explicación de esto está en que la dualidad se enuncia en espacios proyectivos (para su definición véanse entradas anteriores), en los cuales dos rectas siempre se cortan.

Si alguien se ha quedado con ganas de más y quiere seguir dibujando enunciados y sus duales, el teorema de Desargues también admite una representación geométrica muy vistosa, y también está definido sobre el espacio proyectivo.

Diego Munuera Merayo.