(383) Teorema de Poincaré-Perelman

Teorema de Poincaré-Perelman

Este artículo tratará sobre la antes llamada Conjetura de Poincaré, que tras ser demostrada por Grigori Perelman, pasó a llamarse Teorema de Poincaré-Perelman, que actualmente es el único Problema del Milenio resuelto, estos Problemas del Milenio son siete problemas matemáticos cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares cada uno (cabe mencionar que Perelman además de renunciar a este premio, también renunció a la Medalla Fields). En realidad, lo que Perelman ha demostrado no es la conjetura de Poincaré, sino un resultado más general del cual la conjetura es un caso particular: la conjetura de geometrización de Thurston. Dicho de otro modo, una vez demostrada la Conjetura de Geometrización de Thurston automáticamente habremos obtenido también la de Poincaré. La Conjetura de Geometrización fue propuesta en 1970 por el matemático William Paul Thurston ganador de una medalla Fields en 1982 por la impresionante envergadura matemática de sus trabajos sobre variedades de dimensión 2 y 3.

En realidad, la Conjetura de Thurston constituye un problema matemático mucho más ambicioso que el de Poincaré, ya que pretende alcanzar una descripción definitiva de cualquier superficie de dimensión 3 por medio de su descomposición en piezas de estructura geométrica más simple.

Primero haré dos breves referencias biográficas sobre Poincaré y Perelman.

Poincaré fue un matemático francés. Ingresó en el Polytechnique en 1873, continuó sus estudios en la Escuela de Minas bajo la tutela de C. Hermite, y se doctoró en matemáticas en 1879. Fue nombrado profesor de física matemática en La Sorbona (1881), puesto que mantuvo hasta su muerte. Antes de llegar a los treinta años desarrolló el concepto de funciones automórficas, que usó para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos.

Poincaré.

Grigori Perelman nació el 13 de junio de 1966 en Leningrado (actual San Petersburgo). Con catorce años ingresa en la Escuela 239 de Leningrado para jóvenes talentos. Un centro de élite como otros repartidos por la URSS, donde funcionaban numerosos círculos para niños: de matemáticas, de ajedrez, de deportes, de música...Perelman formó parte del equipo de la URSS en las Olimpiadas de Matemáticas obteniendo una medalla de oro. Estudió matemáticas en la Universidad de Leningrado, tras terminar sus estudios, ha realizado contribuciones históricas a la geometría riemanniana y a la topología geométrica, una de sus contribuciones más importantes fue la demostración de la conjetura que trataremos en este artículo.

La demostración puede verse en esta web.

Grigori Perelman.

El propio Poincaré intentó, sin éxito, resolver el caso n = 3. Ante la imposibilidad de llegar a una demostración rigurosa Poincaré planteó en 1904 la siguiente conjetura, que ha pasado a la historia como la Conjetura de Poincaré:

Toda 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S³

Si bien Poincaré solamente estudió el caso n = 3, los matemáticos posteriores consideraron la cuestión para cualquier n ≥ 3. En realidad, para n > 3 se sabe que el grupo fundamental no es suficiente para caracterizar las superficies compactas, y es necesario recurrir al concepto más general de variedades homotópicamente equivalentes. De esta manera, para n > 3 la Conjetura se enuncia del siguiente modo:

Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sⁿ

Para entender este enunciado, introduciré conceptos básicos de topología:

Variedad: es una generalización de curva y superficie a espacios de mayor dimensión. Una curva en el plano ² (recta, parábola…) es una 1-variedad, una superficie en ³ (esfera, cilindro…) es una 2-variedad, y así sucesivamente. Por tanto, una 3-variedad es un objeto matemático de ⁴ (sí, un espacio de 4 dimensiones).

Nota: en todos los casos se toman los bordes de la figura. Por ejemplo, cuando hablemos de la esfera estaremos considerando la superficie exterior, es decir, la parte interior no cuenta. No es una esfera maciza, es simplemente la parte externa.

Compacto: un recubrimiento abierto de un subconjunto A ⊆ X de un espacio topológico, es una familia de conjuntos abiertos {O_i}_i ∈ I de X, tales que su unión "cubre" a A:

Para todo recubrimiento C de un conjunto A, un sobrecubrimiento D es una subfamilia de C, D ⊆ C que sigue siendo un recubrimiento de A es decir, una subcolección de conjuntos de C que cubre a A.

Un espacio topológico X se dice compacto si, dado un recubrimiento abierto de X, existe un sobrecubrimiento finito del mismo.

Simplemente conexo: un espacio topológico X es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicación continua  que sea un lazo, es decir, que verifique  para algún punto p∈X  es contractíble de forma continua a dicho punto mediante una homotopía  tal que  y .
Nota: una homotopía en topología, concretamente en topología algebraica, son dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro y se dice que estas son homotópicas.

Fig.0.

Los dos caminos en negrita que se muestran arriba son homotópicos en relación a sus extremos. Las líneas finas marcan isocontornos de una posible homotopía.

Nos podemos quedar con que esto significa que la variedad en cuestión no tiene agujeros. Un ejemplo para entender mejor esto: la 2-variedad S² (la esfera tal y como todos la conocemos) es simplemente conexa, pero la 2-variedad T (toro) no lo es, ya que tiene un agujero en medio (Fig.1).

Fig.1.Toro.

Homeomorfo: significa que se pueda plantear un homeomorfismo (aplicación continua y biyectiva cuya inversa es continua) entre ellos. Básicamente se dice que dos n-variedades son homeomorfas si son topológicamente iguales, es decir, si al estudiar ciertas propiedades en cada una de ellas resultan coincidir. Geométricamente podríamos decir que deformando una sin romperla podemos llegar a la otra. Por ejemplo, una circunferencia y una elipse (1-variedades) son homeomorfas, ya que puedo deformar cada una de ellas (sin romperlas) y transformarlas en la otra (Fig.2).

Fig.2. 

Ahora veamos una explicación geométrica. Lo explicaremos con 2-variedades, es decir, figuras en 3 dimensiones.

Simplemente conexo: supongamos una esfera, que es una 2-variedad (Fig.3).

Fig.3.Esfera.

Cogemos una cuerda, rodeamos la esfera con ella (por ejemplo, por el ecuador de la misma, aunque podría ser por cualquier otro sitio) y le hacemos un nudo corredizo. Este nudo se irá haciendo más pequeño hasta acabar siendo un punto Fig.4. Y esto pasa con cualquier curva cerrada situada en cualquier parte de la esfera.

Fig.4.

Supongamos que situamos la cuerda rodeando el toro en perpendicular a la figura. Si tiráramos de ella no pasaría lo mismo que en el caso anterior, seguiría siendo de la misma forma y del mismo tamaño, y lo mismo ocurriría si moviéramos la cuerda alrededor del toro.

Si rodeamos el toro en paralelo a la figura y tiramos de la cuerda sí conseguiremos deformarla, pero debido al agujero que el toro tiene en medio no podremos conseguir que la cuerda llegue a ser un punto, como en el caso anterior. Cuando llegáramos al borde interno no podríamos seguir. De esta forma podemos ver que efectivamente el toro es una 2-variedad que no es simplemente conexa.
En Fig.5 se visualizan las distintas formas de anudar explicadas anteriormente.

Fig.5.

Para n = 2 lo expuesto anteriormente nos dice que las 2-variedades esfera y toro no son homeomorfas. Es decir, que de las propiedades topológicas de una de ellas no podemos sacar información de las propiedades topológicas de la otra, debemos estudiar cada 2-variedad por separado.

Sin embargo, si tomamos un elipsoide:

Fig.6.Elipsoide.

Podemos ver que el experimento de la cuerda nos da los mismos resultados que los obtenidos con la esfera. Al ser también el elipsoide una 2-variedad compacta tenemos, por el teorema de Poincaré que la esfera S² y el elipsoide son homeomorfos. Esto también se puede ver intuitivamente en este caso, ya que por ejemplo podemos deformar el elipsoide (sin romperlo) y convertirlo en una esfera.

Finalmente, este teorema es importante debido a que decir que dos variedades son homeomorfas quiere decir que, son topológicamente iguales. El teorema nos permite que, comprobando que una 3-variedad es compacta y simplemente conexa sabremos muchísimas más cosas de ella, ya que las propiedades topológicas de S³ son conocidas, y al ser homeomorfas la otra 3-variedad hereda todas ellas.

Y aquí acaba el artículo que espero que le haya resultado satisfactorio.

Artículo escrito por Carlos Saravia.