Hoy \textit{no} es el día del número Pi. Pero me la refanfinfla.
uwu
$\pi \approx 3.14$ se puede definir de muchos modos. El más geométrico, consiste en decir que $\pi$ es el ratio de proporcionalidad entre el diámetro de una circunferencia y su perímetro. Pero yo prefiero definirlo de otra forma. Sea $\exp$ la única solución (holomorfa) de la siguiente ecuación diferencial:
\[
\begin{cases}
f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}\\
f'(z)=z,\\
f(0)=1,
\end{cases}
\]
Entonces,
\[
\pi=-2\text{í} \min \{\ |z|\ \colon z\in\mathbb{C}\setminus\{0\},\ \exp(z) = 0 \}
\]
En la misma vena, la función $\operatorname{arc\,tg}$ permite definir $\pi$ como suma de una serie (la serie de Madhava-Gregory-Leibniz):
\[
\pi=4 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\ldots
\]
Esta serie converge bastante lento, lo cuál queda en evidencia por el lento decrecimiento del valor absoluto de sus sumandos. Converge más rápido esta otra:
\[
\pi= 2\sum_{k=0}^\infty \frac{2^kk!^2}{(2k+1)!} = 2+\frac{2}{3}+\frac{4}{15}+\ldots
\]
La derivación de esta fórmula aparece en este enlace. Dejamos al lector la tarea de probar que esta serie converge estrictamente más rápido que la anterior (se debe precisar que es ``estrictamente más rápido'' y utilizar la fórmula de Stirling para probarlo). Comentar también que es una lectura muy interesante para cualquiera interesado en la aproximación computacional de $\pi$. owo Terminamos esta muy breve entrada con una conocida pero igualmente genial anécdota: en 1897, el Congreso del Estado de Indiana, EEUU votó unánimamente a favor de declarar por ley que:
``$\pi$ tiene dos valores: $3,2$ y $4$ ''
Por suerte, el Senado del Estado de Indiana tumbó semejante estupidez. Para la historia completa, míralo aquí.
