(797) - Sobre el número π (pi)

Hoy \textit{no} es el día del número Pi. Pero me la refanfinfla. uwu $\pi \approx 3.14$ se puede definir de muchos modos. El más geométrico, consiste en decir que $\pi$ es el ratio de proporcionalidad entre el diámetro de una circunferencia y su perímetro. Pero yo prefiero definirlo de otra forma. Sea $\exp$ la única solución (holomorfa) de la siguiente ecuación diferencial: $$\begin{cases} f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}\\ f'(z)=z,\\ f(0)=1, \end{cases}$$ Entonces, $$\pi=-2\text{í} \min \{\ |z|\ \colon z\in\mathbb{C}\setminus\{0\},\ \exp(z) = 0 \}$$ En la misma vena, la función $\operatorname{arc\,tg}$ permite definir $\pi$ como suma de una serie (la serie de Madhava-Gregory-Leibniz): $$\pi=4 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\ldots$$ Esta serie converge bastante lento, lo cuál queda en evidencia por el lento decrecimiento del valor absoluto de sus sumandos. Converge más rápido esta otra: $$\pi= 2\sum_{k=0}^\infty \frac{2^kk!^2}{(2k+1)!} = 2+\frac{2}{3}+\frac{4}{15}+\ldots$$ La derivación de esta fórmula aparece en este enlace. Dejamos al lector la tarea de probar que esta serie converge estrictamente más rápido que la anterior (se debe precisar que es ``estrictamente más rápido'' y utilizar la fórmula de Stirling para probarlo). Comentar también que es una lectura muy interesante para cualquiera interesado en la aproximación computacional de $\pi$. owo Terminamos esta muy breve entrada con una conocida pero igualmente genial anécdota: en 1897, el Congreso del Estado de Indiana, EEUU votó unánimamente a favor de declarar por ley que: ``$\pi$ tiene dos valores: $3,2$ y $4$ '' Por suerte, el Senado del Estado de Indiana tumbó semejante estupidez. Para la historia completa, míralo aquí.