En
el día de hoy traemos una entrega donde queremos explicar qué es una
diferintegral, pero para ello ya hemos explicado que es una derivada, y ahora
toca saber qué es una integral.
La última
semana habíamos visto qué significaba la n-ésima derivada con n = –1 : era
una nueva función (función primitiva) cuya derivada es la función original, es
decir, hablando mal y pronto, derivar e integrar son operaciones inversas
entre sí. Hemos respondido a la pregunta ¿qué significa la función original
para la integral?, pero necesitamos responder ¿qué significa la primitiva
para la función original?
La integral en
un intervalo nos da el área neta de la función con respecto al eje de
abscisas (eje X). ¿Qué diferencia hay entre área total y área neta? El área
neta establece un signo a las áreas según estén por “encima” (positivas) o por “debajo”
(negativas) del eje, mientras que el área total es toda el área recubierta, sin
importar su posición relativa al eje.
Cabe resaltar que
hay dos “tipos” de integrales: integrales definidas, que dan como resultado un
número que representa el área neta entre la función y el eje en un intervalo, e
integrales indefinidas, que hacen referencia a la fórmula matemática que da los
valores de integrales definidas.
Ya vimos cómo una función tiene solo una I-derivada asociada, pero no
tiene una única integral indefinida asociada, sino un conjunto de funciones que varía en una
constante. ¿Por qué? Sumar una constante a una función no influye su tasa de
variación, y por tanto tampoco su derivada. Ergo un endomorfismo entre funciones
integrables nunca será inyectivo.
Debemos a
grandes matemáticos como Darboux, Riemann, o Lebesgue teorías rigurosas sobre
cómo hallar integrales definidas.
Ya hemos visto
qué significan la n-ésima derivada para un n natural, lo
extendimos para n = 0 , y para n estrictamente entero hemos visto
que hay que integrar n veces. En la próxima entrega intentaremos cerrar
esta serie para dar un significado a la n-ésima derivada para un n
genérico.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
