(541) - Diferintegral. ¿Qué es una integral? (Breve introducción) (2/3)

En el día de hoy traemos una entrega donde queremos explicar qué es una diferintegral, pero para ello ya hemos explicado que es una derivada, y ahora toca saber qué es una integral.

La última semana habíamos visto qué significaba la n-ésima derivada con n = –1 : era una nueva función (función primitiva) cuya derivada es la función original, es decir, hablando mal y pronto, derivar e integrar son operaciones inversas entre sí. Hemos respondido a la pregunta ¿qué significa la función original para la integral?, pero necesitamos responder ¿qué significa la primitiva para la función original?

La integral en un intervalo nos da el área neta de la función con respecto al eje de abscisas (eje X). ¿Qué diferencia hay entre área total y área neta? El área neta establece un signo a las áreas según estén por “encima” (positivas) o por “debajo” (negativas) del eje, mientras que el área total es toda el área recubierta, sin importar su posición relativa al eje.

Cabe resaltar que hay dos “tipos” de integrales: integrales definidas, que dan como resultado un número que representa el área neta entre la función y el eje en un intervalo, e integrales indefinidas, que hacen referencia a la fórmula matemática que da los valores de integrales definidas.

Ya vimos cómo una función tiene solo una I-derivada asociada, pero no tiene una única integral indefinida asociada, sino un conjunto de funciones que varía en una constante. ¿Por qué? Sumar una constante a una función no influye su tasa de variación, y por tanto tampoco su derivada. Ergo un endomorfismo entre funciones integrables nunca será inyectivo.

Debemos a grandes matemáticos como Darboux, Riemann, o Lebesgue teorías rigurosas sobre cómo hallar integrales definidas.

Ya hemos visto qué significan la n-ésima derivada para un n natural, lo extendimos para n = 0 , y para n estrictamente entero hemos visto que hay que integrar n veces. En la próxima entrega intentaremos cerrar esta serie para dar un significado a la n-ésima derivada para un n genérico.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.