Poco antes de verano estaba con un amigo del doble grado y redactor de este blog hablando de ecuaciones diferenciales y salieron dos ejemplos en particular: la del péndulo realista, $y^{\prime\prime}+\beta\,y^\prime+{\omega_0}^2\sin(y)=0$ (con amortiguamiento/fricción y sin aproximaciones de ángulo pequeño), y el sistema de Lotka-Volterra: $\displaystyle \begin{cases} x^\prime & = & x(\alpha-\beta y) \\ y^\prime & = & -y(\gamma-\delta x) \end{cases}$ . Él me preguntó que si acaso tenían solución, y yo le dije que sí, que se podían construir. Él realmente no me inquirió en si eran resolubles (ya fueren analítica o numéricamente), sino si existía alguna función conocida, que pudiese ser composición y/o combinación de otras funciones elementales o no (por ejemplo) tal que fuese solución suya, es decir, si se podía expresar su solución en términos de funciones conocidas. Él se quejó de mi respuesta, a lo que yo le dije que realmente eso poco importaba a la hora de resolver ecuaciones diferenciales y al estudiarlas. A veces la propia solución puede ser tan engorrosa analíticamente que es reconfortante pensar que siempre nos quedará el cálculo numérico...
Por ejemplo, tomemos la función error gaussiano, una función no-elemental, que se define como: $\displaystyle \operatorname{erf}(x)\overset{\text{def}}{=}\frac{2}{\sqrt{\pi\;}}\int_0^x e^{-t^2}\;\text{d}t$ . Resolvamos la ecuación diferencial ordinaria de I orden $y^\prime = e^{-x^2}$ . Ahora bien, ¿la solución de esta ecuación diferencial es debida a dicha definición anterior, tal que $\displaystyle y\triangleq\frac{\sqrt{\pi\;}}{2}\operatorname{erf}(x)+y_0$ , o bien la definición anterior se dio para que satisficiere la ecuación diferencial $y^\prime = e^{-x^2}$ ?, es decir, ¿qué vino antes: la definición (y después la ecuación diferencial que resulta ser que la tiene como solución salvo constantes) o la ecuación diferencial (y la definición se dio posteriormente como su solución a este problema)?
Sin la definición de $\operatorname{erf}(x)$, el problema es irresoluble analíticamente, pero con dicha definición es trivial, ya que la propia definición es la solución. Es como si hubiésemos definido que esta función sea su solución. Es equivalente a construir la solución, y darla como definición, por lo que el problema ya está resuelto.
Esto puede parecer una tontería, o un poco enrevesado, pero si se quiere resolver $y^\prime = 3x^2$ , que tiene como solución $y=x^3+y_0$ , no se requiere de ninguna definición previa que no esté contemplada ya.
Uno siempre puede decir: Sea $y\overset{\text{def}}{=}\theta(t)=\theta(t|\beta,\omega_0;y_0,{y_0}^\prime)$ la solución a la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}+\beta\,y^\prime+{\omega_0}^2\sin(y)=0$ en la variable $t$ donde $\beta,\omega_0\geqslant 0$ son parámetros que dependen de la ecuación diferencial, con $y_0,{y_0}^\prime$ como condiciones iniciales (hay soluciones analíticas si se linealiza o si al menos uno de los parámetros se anula, aunque con $\beta=0$ es enrevesada). Después mediante cálculo y análisis numéricos, con un conocimiento previo de ecuaciones diferenciales, uno puede estudiar la solución numéricamente, y a veces a lo sumo, hasta cierto punto analíticamente.
Otro ejemplo puede ser el oscilador de Van der Pol: $y^{\prime\prime}-\mu(1-y^2)y^\prime+{\omega_0}^2y=0$ (nótese que el caso $\mu=0$ es el oscilador armónico simple, por lo que sí tiene una solución analítica en este caso), otra vez ahí definir $y\overset{\text{def}}{=}\operatorname{vdp}(t)=\operatorname{vdp}(t|\mu,\omega_0;y_0,{y_0}^\prime)$ como una solución obtenida numéricamente y a partir de ella estudiar la solución "analítica".
Lo que estoy argumentando es equivalente a si un matemático en el $\text{siglo XVI-XVII}$, desconociendo tanto el número $e$ como las funciones exponencial $e^x$ y logaritmo $\ln(x)$ , decidiese analizar la ecuación diferencial ordinaria de primer orden $y^\prime=k\, y$ definiendo su solución como $y\overset{\text{def}}{=}\operatorname{sol}(t) = \operatorname{sol}(t|k;y_0)$ y estudiarla a partir de su solución construida. Hoy sabemos que tiene una forma cerrada, $y=y_0\, e^{k(t-t_0)}$ .
Uno puede incluso argumentar que estos ejemplos están sesgados y que no tienen validez, pero no es así, hay muchas ecuaciones diferenciales que no tienen necesariamente una solución analítica y para entenderlas es necesario su estudio con cálculo numérico y definir sus soluciones. En especial, en física, como dijo Steven Strogatz ($1959-$): "Desde Newton, la humanidad se ha dado cuenta que las leyes de la física siempre se expresan en la lengua de ecuaciones diferenciales." Veamos algunos ejemplos:
El sistema de $2$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el péndulo doble $$ \begin{cases} \ddot{\theta}_1 & = & \displaystyle \frac{-g (2m_1+m_2)\sin(\theta_1)-m_2g\sin(\theta_1-2\theta_2)-2\sin(\theta_1-\theta_2)m_2\big({\dot{\theta_2}}^2 l_2+{\dot{\theta_1}}^2 l_1\cos(\theta_1-\theta_2)\big)} {l_1\big(2m_1+m_2-m_2\cos(2\theta_1-2\theta_2)\big)} \\ \ddot{\theta}_2 & = & \displaystyle \frac{2 \sin(\theta_1-\theta_2) \big({\dot{\theta}_1}^2 l_1 (m_1 + m_2)+ g(m_1 + m_2) \cos(\theta_1) + {\dot{\theta}_2}^2 l_2 m_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)\big)} {l_2 \big(2 m_1 + m_2 - m_2 \cos(2 \theta_1 - 2 \theta_2)\big)} \end{cases} $$ El sistema de $2$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el péndulo elástico $$ \begin{cases} \ddot{r} & = & \displaystyle (r+l_0)\dot{\theta}^2 -\frac{k}{m}r + g\cos(\theta) \\ \ddot{\theta} & = & \displaystyle -\frac{g\sin(\theta)+2\dot{r}\dot{\theta}}{r+l_0} \end{cases} $$ La ecuación diferencial ordinaria de II orden que rige el péndulo esférico $$ \ddot{\theta}(t)- \left(\frac{p_\varphi}{ml^2}\right)^2\frac{\cos\big(\theta(t)\big)}{\sin^3\big(\theta(t)\big)}+\frac{g}{l}\sin\big(\theta(t)\big) = 0 $$ El sistema de $6$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el problema de los dos cuerpos $$ \begin{cases} \ddot{\vec{r}}_1 & = &\displaystyle Gm_2 \frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{{\|\vec{r}_2-\vec{r}_1\|_2}^3}\\ \ddot{\vec{r}}_2 & = &\displaystyle Gm_1 \frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{{\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|_2}^3} \end{cases} \implies m_1\ddot{\vec{r}}_1 + m_2\ddot{\vec{r}}_2 = \vec{0} $$ El sistema de $3$ ecuaciones diferenciales ordinarias de I orden conocido como el atractor de Lorentz, un ejemplo famoso de la Teoría del Caos: $$ \begin{cases} \dot{x} & = & \sigma (y-x) \\ \dot{y} & = & x (\rho-z)-y \\ \dot{z} & = & xy-\beta z \end{cases} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Por ejemplo, tomemos la función error gaussiano, una función no-elemental, que se define como: $\displaystyle \operatorname{erf}(x)\overset{\text{def}}{=}\frac{2}{\sqrt{\pi\;}}\int_0^x e^{-t^2}\;\text{d}t$ . Resolvamos la ecuación diferencial ordinaria de I orden $y^\prime = e^{-x^2}$ . Ahora bien, ¿la solución de esta ecuación diferencial es debida a dicha definición anterior, tal que $\displaystyle y\triangleq\frac{\sqrt{\pi\;}}{2}\operatorname{erf}(x)+y_0$ , o bien la definición anterior se dio para que satisficiere la ecuación diferencial $y^\prime = e^{-x^2}$ ?, es decir, ¿qué vino antes: la definición (y después la ecuación diferencial que resulta ser que la tiene como solución salvo constantes) o la ecuación diferencial (y la definición se dio posteriormente como su solución a este problema)?
Sin la definición de $\operatorname{erf}(x)$, el problema es irresoluble analíticamente, pero con dicha definición es trivial, ya que la propia definición es la solución. Es como si hubiésemos definido que esta función sea su solución. Es equivalente a construir la solución, y darla como definición, por lo que el problema ya está resuelto.
Esto puede parecer una tontería, o un poco enrevesado, pero si se quiere resolver $y^\prime = 3x^2$ , que tiene como solución $y=x^3+y_0$ , no se requiere de ninguna definición previa que no esté contemplada ya.
Uno siempre puede decir: Sea $y\overset{\text{def}}{=}\theta(t)=\theta(t|\beta,\omega_0;y_0,{y_0}^\prime)$ la solución a la ecuación diferencial $y^{\prime\prime}+\beta\,y^\prime+{\omega_0}^2\sin(y)=0$ en la variable $t$ donde $\beta,\omega_0\geqslant 0$ son parámetros que dependen de la ecuación diferencial, con $y_0,{y_0}^\prime$ como condiciones iniciales (hay soluciones analíticas si se linealiza o si al menos uno de los parámetros se anula, aunque con $\beta=0$ es enrevesada). Después mediante cálculo y análisis numéricos, con un conocimiento previo de ecuaciones diferenciales, uno puede estudiar la solución numéricamente, y a veces a lo sumo, hasta cierto punto analíticamente.
Otro ejemplo puede ser el oscilador de Van der Pol: $y^{\prime\prime}-\mu(1-y^2)y^\prime+{\omega_0}^2y=0$ (nótese que el caso $\mu=0$ es el oscilador armónico simple, por lo que sí tiene una solución analítica en este caso), otra vez ahí definir $y\overset{\text{def}}{=}\operatorname{vdp}(t)=\operatorname{vdp}(t|\mu,\omega_0;y_0,{y_0}^\prime)$ como una solución obtenida numéricamente y a partir de ella estudiar la solución "analítica".
Lo que estoy argumentando es equivalente a si un matemático en el $\text{siglo XVI-XVII}$, desconociendo tanto el número $e$ como las funciones exponencial $e^x$ y logaritmo $\ln(x)$ , decidiese analizar la ecuación diferencial ordinaria de primer orden $y^\prime=k\, y$ definiendo su solución como $y\overset{\text{def}}{=}\operatorname{sol}(t) = \operatorname{sol}(t|k;y_0)$ y estudiarla a partir de su solución construida. Hoy sabemos que tiene una forma cerrada, $y=y_0\, e^{k(t-t_0)}$ .
Uno puede incluso argumentar que estos ejemplos están sesgados y que no tienen validez, pero no es así, hay muchas ecuaciones diferenciales que no tienen necesariamente una solución analítica y para entenderlas es necesario su estudio con cálculo numérico y definir sus soluciones. En especial, en física, como dijo Steven Strogatz ($1959-$): "Desde Newton, la humanidad se ha dado cuenta que las leyes de la física siempre se expresan en la lengua de ecuaciones diferenciales." Veamos algunos ejemplos:
El sistema de $2$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el péndulo doble $$ \begin{cases} \ddot{\theta}_1 & = & \displaystyle \frac{-g (2m_1+m_2)\sin(\theta_1)-m_2g\sin(\theta_1-2\theta_2)-2\sin(\theta_1-\theta_2)m_2\big({\dot{\theta_2}}^2 l_2+{\dot{\theta_1}}^2 l_1\cos(\theta_1-\theta_2)\big)} {l_1\big(2m_1+m_2-m_2\cos(2\theta_1-2\theta_2)\big)} \\ \ddot{\theta}_2 & = & \displaystyle \frac{2 \sin(\theta_1-\theta_2) \big({\dot{\theta}_1}^2 l_1 (m_1 + m_2)+ g(m_1 + m_2) \cos(\theta_1) + {\dot{\theta}_2}^2 l_2 m_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)\big)} {l_2 \big(2 m_1 + m_2 - m_2 \cos(2 \theta_1 - 2 \theta_2)\big)} \end{cases} $$ El sistema de $2$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el péndulo elástico $$ \begin{cases} \ddot{r} & = & \displaystyle (r+l_0)\dot{\theta}^2 -\frac{k}{m}r + g\cos(\theta) \\ \ddot{\theta} & = & \displaystyle -\frac{g\sin(\theta)+2\dot{r}\dot{\theta}}{r+l_0} \end{cases} $$ La ecuación diferencial ordinaria de II orden que rige el péndulo esférico $$ \ddot{\theta}(t)- \left(\frac{p_\varphi}{ml^2}\right)^2\frac{\cos\big(\theta(t)\big)}{\sin^3\big(\theta(t)\big)}+\frac{g}{l}\sin\big(\theta(t)\big) = 0 $$ El sistema de $6$ ecuaciones diferenciales ordinarias de II orden que rigen el problema de los dos cuerpos $$ \begin{cases} \ddot{\vec{r}}_1 & = &\displaystyle Gm_2 \frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{{\|\vec{r}_2-\vec{r}_1\|_2}^3}\\ \ddot{\vec{r}}_2 & = &\displaystyle Gm_1 \frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{{\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|_2}^3} \end{cases} \implies m_1\ddot{\vec{r}}_1 + m_2\ddot{\vec{r}}_2 = \vec{0} $$ El sistema de $3$ ecuaciones diferenciales ordinarias de I orden conocido como el atractor de Lorentz, un ejemplo famoso de la Teoría del Caos: $$ \begin{cases} \dot{x} & = & \sigma (y-x) \\ \dot{y} & = & x (\rho-z)-y \\ \dot{z} & = & xy-\beta z \end{cases} $$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
