(1069) - El triángulo fractal de Sierpiński

 Quizás en algún momento de tu vida te as encontrado por internet este dibujo:

Por si no te suena, es el triángulo de Sierpiński, y a parte de en tu feed de Instagram aparece de manera insospechada en varios rincones de las matemáticas bastante curiosos.

Hoy vamos a ver un par de formas de construirlo desde la manera más normalita a la más insospechada.

Primero de todo vamos a dibujarlo directamente, a mano (si tienes un papel a mano te recomiendo probar a dibujarlo tú mismo).

En primer lugar, dibuja un triángulo equilátero, localiza los puntos medios de sus lados y únelos. Eso es una iteración, después hacemos lo mismo con cada uno de los 3 trianguiltos que han aparecido en la figura, luego seguimos y lo hacemos a los 9 ... en algún momento dejaremos de dibujar (aunque sea por aburrimiento), pero si tuvieramos paciencia infinita o los comandos prohibidos de Belarmino para C llegaríamos a que la figura iguala en el infinito al fractal, el triángulo de Sierpiński. 

Construcción Directa

Empezamos con un triángulo, marcamos los puntos medios de cada lado y los unimos, en la siguiente iteración hacemos lo mismo con 3 triangulitos de los 4 triangulitos que han aparecido, iterando este proceso se revela el patrón siguiente: 

Esta es la forma más normalita de encontrarse el fractal, pero también hay otra forma de construirlo directamente, que es haciendo copias de sí mismo:

Construcción por duplicado

Hasta aquí si ya conocías la forma o el fractal te puede haber resultado curioso o te puede haber dado un poco igual, pero ahora vienen las sorpresas, pues este triángulo al parecer sale hasta de entre las pierdras.

Método probabilístico

Dibuja un triángulo y coloca un punto en él, donde quieras (dentro, fuera, en un borde...), ahora selecciona al azar un número entre 1 y 3, fíjate en el vértice correspondiente y une tu punto con él.  Ahora pinta el punto medio entre tu punto y el vértice, has completado la primera iteración. Ahora toca realizar lo mismo con el punto que acabas de dibujar y seguir indefinidamente.

Esto son las primeras iteraciones lentas para ilustrar el proceso:

Ahora bien, de esta sopa de puntos no debería emerger ningún patrón, recuerdo que cogemos los vértices al azar, pero no, resulta que si ponemos más puntos...

¡Aparece el mismísimo triángulo de Sierpiński! Esta manera de obtener el triángulo descoloca un poco la primera vez que la ves, porque del puro azar sale un patrón tan ordenado que parece hasta mentira.

Ahora bien, vamos a rizar el rizo ¿si llenamos siguiendo estas pautas otro polígono nos aparecerá algún fractal similar? Vamos a verlo.

Cuadrado:

No tiene pinta

Pentágono:

Podría servir

(Para esta última animación he calculado 30k frames, y los bordes no están muy perfilados, supongo que el patrón sigue pero es un poquito acto de fé)

Hexágono:

De nuevo volvemos a no tener suerte, pero la imágen final me despierta la duda de si las uniones de los vértices con el centro no pueden ser alcanzadas por los puntos y las vemos medio-sombreadas por puntos cercanos o es simplemente una cuestión probabilística.

Heptágono:

En este último caso vemos que el centro queda bastante despoblado, pero dudo mucho que eventualmente se perfile un heptñagono o un círculo en el centro, seguramente este hueco sí sea una cuestión probabilística.

El triángulo de Sierpiński aparece en mil sitios, desde el número de lados que tienen los polígonos regulares que puedes construir con compás pasando por el binario hasta la paridad de los números en el triángulo de Pascal.

Como curiosidad, el triángulo tiene dimensión \(log_2(3))\, desde luego en otro sentido de dimensión que el "numero de elementos de una base del espacio".

Para estas y más formas de redescubrir el triángulo de Sierpiński, os dejo estos videos que están bastante chulos.

Un canal muy recomendado sobre pruebas visuales

Autor: Raúl Barrero