(317) La paradoja de Russell

La paradoja de Russell

En esta entrada describiremos la llamada paradoja de Russell, señalando brevemente lo que provocó y como se le dio solución a ello.

La matemática moderna es, en muchos sentidos, deudora de la de la Grecia clásica. Si bien dista de nuestros conceptos actuales, sobre todo en cuestiones de lenguaje, ya en los escritos de Aristóteles encontramos referencias a una primitiva teoría de conjuntos. Esta teoría fue desarrollándose y dando lugar a su versión moderna (sobre la que no entraremos en detalles), pero para esto hubo de pasar por muchos estados intermedios.

Antes de que se enunciara la paradoja de que vamos a hablar, la noción que se tenía de conjunto coincidía con la idea intuitiva de este; como dice la RAE: “Totalidad de los elementos o cosas poseedores de una propiedad común, que los distingue de otros”. Por ejemplo, un conjunto podían ser cuatro números naturales, o cuatro peras, o las sillas en una habitación. En un principio este concepto era suficiente, en cuanto a que la teoría construida hasta entonces parecía no dar problemas. Fue entonces cuando Russell enunció su paradoja.

Antes de hablar de ella, y sintiendo dilatar tanto el explicarla, es necesario introducir algunas nociones sobre conjuntos, entendidos estos en la noción intuitiva antes dada.

Existe una familia de conjuntos, a la que llamaremos “conjuntos normales”, que son aquellos no pertenecientes a sí mismos. Como ejemplo de esta familia tenemos el conjunto vacío, o los números naturales, o prácticamente cualquier conjunto que a uno pueda ocurrírsele.

Consideremos ahora el conjunto dado por todos los conjuntos que pueden describirse con menos de 50 palabras. Este conjunto ha podido describirse con menos de 50 palabras, y pertenece por tanto a sí mismo. Podemos así, considerar la familia de conjuntos que sí se pertenecen a sí mismos; a estos conjuntos los llamaremos “conjuntos singulares”.

Ahora bien, si consideramos el conjunto de conjuntos que no se pertenecen a sí mismos encontramos un problema. Llamemos C a ese conjunto. Si C no pertenece a C entonces C cumple la condición para pertenecer a C. Asimismo, si C pertenece a C, entonces C no puede pertenecer a C. Hemos llegado, de esta forma, a la paradoja de Russell.

Esto puede parecer una tontería, sin embargo fue el detonante de una crisis inmensa en las matemáticas. Se había hallado una inconsistencia en la base de la teoría de conjuntos, sobre la cual se asentaban otras áreas de las matemáticas, apuntando a un potencial derrumbamiento. Por supuesto, esta situación se subsanó más adelante, considerando otra definición de conjunto. Sin embargo, todo eso se escapa del conjunto de asuntos a tratar en esta entrada, con que nos decidimos por darla por concluida.


Diego Munuera Merayo.