Supongamos que tenemos una función $f(x)$ dos veces derivable en un intervalo $[a,b]$, que tiene una raíz $\alpha\in[a,b]$, es decir $f(\alpha)=0$.Además suponemos que tanto la primera derivada, $f^{(1)}(x)$, como la segunda, $f^{(2)}(x)$, no se anulan en el intervalo $[a,b]$.
En el método de Newton-Rhapson suponemos que el extremo derecho del intervalo, $x_0=b$, es una buena estimación para la raíz (de hecho valdría otro punto del intervalo, pero tomaremos este por simplicidad). Se calcula la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x=x_0$, es decir, $f(x_0) + f^{(1)}(x_0)\,(x-x_0)$, donde estamos despreciando términos de orden $\mathcal{O}\big((x-x_0)^2\big)$. Como la recta tangente a la función es una buena aproximación local a la función, calculamos el punto donde se anula la recta tangente, que lo llamamos $x_1$: $$ x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^{(1)}(x_0)} $$ Si ahora iteramos esto con el punto $x_1$, se llega a otro punto $x_2$, y así sucesivamente se obtiene una sucesión $\{x_n\}_{n=0}^\infty$ que converge hacia la raíz $\alpha$. Lo bueno de este método es que existe una constante $\displaystyle M=\frac{1}{2}\sup_{x\in[a,b]}\left\{\left|\frac{f^{(2)}(x)}{f^{(1)}(x)}\right|\right\}>0$ tal que $|x_{n+1}-\alpha|\leqslant M (x_n-\alpha)^2$, es decir, converge cuadráticamente, y donde se satisface: $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-\alpha}{(x_n-\alpha)^2}= \frac{f^{(2)}(\alpha)}{2f^{(1)}(\alpha)} $.
El método de Newton-Fourier en la iteración inicial considera el extremo izquierdo del intervalo, $z_0=a$, es una buena primera estimación. En vez de considerar solo la recta tangente, considera la recta paralela a la recta tangente del método de Newton-Raphson, es decir, con la pendiente $f^{(1)}(x_0)$, pero que pase por el punto $\big(z_0,f(z_0)\big)$, por lo que la ecuación de esta recta queda $f(z_0) + f^{(1)}(x_0)\,(x-z_0)$. Una vez más vemos donde se anula, que llamaremos $z_1$, dando: $$ z_1 = z_0 - \frac{f(z_0)}{f^{(1)}(x_0)} $$ Donde una vez más se puede crear una secuencia $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ que converge hacia la raíz $\alpha$. Es más, la secuencia $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ es estrictamente decreciente, mientras que la secuencia $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ es estrictamente creciente, ambas convergiendo a la raíz $\alpha$ de forma cuadrática, ya que existe una constante $K>0$ tal que $|x_{n+1}-z_{n+1}|\leqslant K (x_n-z_n)^2$ donde se satisface: $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-z_{n+1}}{(x_n-z_n)^2}= \frac{f^{(2)}(\alpha)}{2f^{(1)}(\alpha)} $.
Si reunimos toda la información $$ \left\{ \begin{matrix} x_{n+1} & = & \displaystyle x_n-\frac{f(x_n)}{f^{(1)}(x_n)} &\quad & x_0=b &\quad& x_n\downarrow\alpha \\ z_{n+1} & = & \displaystyle z_n-\frac{f(z_n)}{f^{(1)}(x_n)} &\quad & z_0=a &\quad& z_n\uparrow\alpha\\ \end{matrix} \right. \\ a = z_0 \lneq z_1 \lneq \cdots \lneq z_n \lneq \cdots \lneq \alpha \lneq \cdots \lneq x_n \lneq \cdots \lneq x_1 \lneq x_0 = b $$ Nótese que el método de Newton-Fourier está pensado para funciones que satisfagan $f^{(1)}(x),f^{(2)}(x)\neq0$ en el intervalo.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
En el método de Newton-Rhapson suponemos que el extremo derecho del intervalo, $x_0=b$, es una buena estimación para la raíz (de hecho valdría otro punto del intervalo, pero tomaremos este por simplicidad). Se calcula la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x=x_0$, es decir, $f(x_0) + f^{(1)}(x_0)\,(x-x_0)$, donde estamos despreciando términos de orden $\mathcal{O}\big((x-x_0)^2\big)$. Como la recta tangente a la función es una buena aproximación local a la función, calculamos el punto donde se anula la recta tangente, que lo llamamos $x_1$: $$ x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^{(1)}(x_0)} $$ Si ahora iteramos esto con el punto $x_1$, se llega a otro punto $x_2$, y así sucesivamente se obtiene una sucesión $\{x_n\}_{n=0}^\infty$ que converge hacia la raíz $\alpha$. Lo bueno de este método es que existe una constante $\displaystyle M=\frac{1}{2}\sup_{x\in[a,b]}\left\{\left|\frac{f^{(2)}(x)}{f^{(1)}(x)}\right|\right\}>0$ tal que $|x_{n+1}-\alpha|\leqslant M (x_n-\alpha)^2$, es decir, converge cuadráticamente, y donde se satisface: $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-\alpha}{(x_n-\alpha)^2}= \frac{f^{(2)}(\alpha)}{2f^{(1)}(\alpha)} $.
El método de Newton-Fourier en la iteración inicial considera el extremo izquierdo del intervalo, $z_0=a$, es una buena primera estimación. En vez de considerar solo la recta tangente, considera la recta paralela a la recta tangente del método de Newton-Raphson, es decir, con la pendiente $f^{(1)}(x_0)$, pero que pase por el punto $\big(z_0,f(z_0)\big)$, por lo que la ecuación de esta recta queda $f(z_0) + f^{(1)}(x_0)\,(x-z_0)$. Una vez más vemos donde se anula, que llamaremos $z_1$, dando: $$ z_1 = z_0 - \frac{f(z_0)}{f^{(1)}(x_0)} $$ Donde una vez más se puede crear una secuencia $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ que converge hacia la raíz $\alpha$. Es más, la secuencia $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ es estrictamente decreciente, mientras que la secuencia $\{z_n\}_{n=0}^\infty$ es estrictamente creciente, ambas convergiendo a la raíz $\alpha$ de forma cuadrática, ya que existe una constante $K>0$ tal que $|x_{n+1}-z_{n+1}|\leqslant K (x_n-z_n)^2$ donde se satisface: $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-z_{n+1}}{(x_n-z_n)^2}= \frac{f^{(2)}(\alpha)}{2f^{(1)}(\alpha)} $.
Si reunimos toda la información $$ \left\{ \begin{matrix} x_{n+1} & = & \displaystyle x_n-\frac{f(x_n)}{f^{(1)}(x_n)} &\quad & x_0=b &\quad& x_n\downarrow\alpha \\ z_{n+1} & = & \displaystyle z_n-\frac{f(z_n)}{f^{(1)}(x_n)} &\quad & z_0=a &\quad& z_n\uparrow\alpha\\ \end{matrix} \right. \\ a = z_0 \lneq z_1 \lneq \cdots \lneq z_n \lneq \cdots \lneq \alpha \lneq \cdots \lneq x_n \lneq \cdots \lneq x_1 \lneq x_0 = b $$ Nótese que el método de Newton-Fourier está pensado para funciones que satisfagan $f^{(1)}(x),f^{(2)}(x)\neq0$ en el intervalo.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
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