(907) - Fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes (Integración Numérica)

Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son un conjunto de expresiones para aproximar la integral numérica de una función dada.
Consideremos una función $f(x)\in\mathcal{C}\big([a,b]\big)$, es decir, una función continua en un intervalo genérico. Tomemos una sucesión de nodos equiespaciados (para simplificar): $$\Delta: a=x_0\leqslant x_1 \leqslant \cdots \leqslant x_i \leqslant \cdots \leqslant x_N \qquad x_i = a+\frac{b-a}{N}i \quad i=0,1,\cdots,N$$ Construyamos ahora el polinomio interpolador en los nodos ya definidos. El teorema de aproximación de Weierstrass nos afirma que hay una sucesión que polinomios que converge uniformente a cualquier función continua en el intervalo $[a,b]$ (en otros términos el conjunto de polinomios es denso en el conjunto de funciones continuas con la norma infinito). Esto nos permite acotar el error al aproximar una función por un suma ponderada de la función evaluada en los nudos: $$ \left| \int_a^b\! f(x)\;\mathrm{d}x - \int_a^b\! P_N(x)\;\mathrm{d}x \right| = \left| \int_a^b\! \big(f(x)-P_N(x)\big)\;\mathrm{d}x \right| \leqslant \int_a^b\! \big|f(x)-P_N(x)\big|\;\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b \|f-P_N\|_\infty \;\mathrm{d}x = \|f-P_N\|_\infty (b-a) \leqslant \varepsilon\,(b-a) $$ El polinomio interpolador de Lagrange se puede escribir de la forma $$ P_N(x) = \sum_{i=0}^N f(x_i) \ell_i(x) \implies \int_a^b\! P_N(x)\;\mathrm{d}x = \int_a^b\! \sum_{i=0}^N f(x_i) \ell_i(x) \;\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^N f(x_i) \int_a^b \ell_i(x) \;\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^N \omega_i f(x_i) $$ Donde se satisface que: $$ \omega_i = \int_a^b\! \ell_i(x) \;\mathrm{d}x \qquad \sum_{i=0}^N \omega_i = b-a $$ La regla del trapecio ($N=1$), de Simpson $1/3$ ($N=2$), de Simpson $3/8$ ($N=4$), y de Boole ($N=5$) son ejemplos de fórmulas de cuadraturas de Newton-Cotes tomando los extremos del intervalo. Si en cambio no se toman los extremos como nodos de interpolación se tiene la regla del rectángulo/punto medio ($N=2$), la del trapecio ($N=3$) o la de Milne ($N=4$).
De hecho hay una familia de fórmulas de cuadraturas que por su similitud se podrían considerar también de Newton-Cotes como la regla adaptativa de Simpson ($N=4$), la de Hardy ($N=6$), la de Weedle ($N=6$), la de Shovelton ($N=10$), las dos de Woolhouse ($N=10,28$), o la de Durand para un $N$ genérico.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(887) - Trigonometría elíptica de Jacobi

¿Alguien se ha preguntado el lector por qué cuando se ve el péndulo simple en bachillerato, siempre se aproxima, nunca dando su solución exacta, aun siendo un problema ideal? Esto a veces ocurre hasta en los cursos inferiores de universidad. El problema no es que no tenga una solución analítica cerrada, sino que la introducción matemática previa para poder comprenderlo, es demasiado a veces.

En física hay ciertas ecuaciones diferenciales cuyas soluciones hacen necesario emplear una familia de funciones: las funciones elípticas de Jacobi. Algunos de estos casos son el péndulo simple (como ya hemos comentado), el oscilador de Duffing, o la solución de la I Ley de Kepler en Relatividad general.

Esta familia de funciones puede ser muy laboriosa y engorrosa de trabajar y lidiar con ellas, ya que son funciones univariables que se definen en función de un parámetro a través de integrales. Algunas se definen simplemente como la inversa de otra, añadiendo otro grado de dificultad en algunos puntos.

Ecuación diferencial y solución para el ángulo de un péndulo simple: $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \theta(t) + {\omega_0}^2 \sin\!\big(\theta(t)\big) = 0 \implies \theta(t) = 2\operatorname{am}\!\left( \frac{\sqrt{2+c_1\,}}{2}(\omega_0t+c_2) \Big| \frac{4}{2+c_1} \right) $$ Las funciones elípticas de Jacobi se definen como un conjunto de funciones integrales paramétricas: Veamos algunos ejemplos de cómo varían según este parámetro: $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{sn}(u|m) = \sin(u) \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{sn}(u|m) = \operatorname{tgh}(u) $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{cn}(u|m) = \cos(u) \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{cn}(u|m) = \frac{1}{\cosh(u)} $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{dn}(u|m) = 1 \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{dn}(u|m) = \frac{1}{\cosh(u)} $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{am}(u|m) = u \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{am}(u|m) = \operatorname{gd}(u) $$ Donde $\operatorname{gd}(u)$ es la función gundermaniana, definida como $$ \operatorname{gd}(u) \overset{\mathrm{def}}{=} \int_0^u \frac{1}{\cosh(t)}\;\mathrm{d}t = \arctan\!\big(\sinh(u)\big) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.