(1187) - Derivada numérica. Cómo calcular la derivada con datos numéricos

Supongamos que tenemos dos variables aleatorias $X,Y$ y queremos medir cómo la variable aleatoria $Y$ varía con respecto a $X$. Tomamos $N$ puntos $\big\{(x_i,y_i)\big\}_{i=1}^N$ donde $\{x_i\}_{i=1}^N$ son muestras de la variable aleatoria $X$, así como $\{y_i\}_{i=1}^N$ de $Y$. En todo esto habría que tener en cuenta que al tomar muestras de cada variable aleatoria no solo hay una incertidumbre en la medida por las limitaciones del aparato con el que medimos, sino que también puede haber un error accidental o incluso sistemático al tomar cada medida. Sin embargo, no nos vamos a preocupar por esto ahora.

Supongamos que existe una funcion $f$ (que no necesariamente conocemos) tal que podamos escribir $Y=f(X)$, es decir, que $X,Y$ estén correlacionadas mediante $f$. La definición de derivada, se da como un límite, que se puede escribir de dos formas equivalentes: $$f^{(1)}(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$ Sin embargo, no podemos tomar ese límite de manera continua, entre otras cosas, porque no tenemos un conjunto continuo, sino simplemente un conjunto discreto de puntos. Supongamos que $f$ es suficientemente derivable en cada punto que queramos calcular su derivada. Tomando un desarrollo de Taylor en torno a $x$ y en serie de potencias de $h$ nos llega a las siguientes. $$\frac{f(x+h_2)-f(x)}{h_2} = f^{(1)}(x) + \frac{h_2}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_2}^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big({h_2}^3\big)$$ $$\frac{f(x)-f(x-h_1)}{h_1} = f^{(1)}(x) - \frac{h_1}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_1}^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big({h_1}^3\big)$$ Que son las definiciones de derivada progresiva y derivada regresiva respectivamente. Sin embargo, vemos rápidamente que en ambas fórmulas lo estamos o bien infraestimando o sobreestimando. Esto sin contar que si bien $h_1$ o $h_2$ no son lo suficientemente pequeños, o si bien las sucesivas derivadas son grandes, la aproximación es bastante mala. Consideremos esta mejora: $$\frac{f(x+h_2)-f(x-h_1)}{h_2+h_1} = f^{(1)}(x) + \frac{h_2-h_1}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_2}^2-h_2h_1+{h_1}^2}{6}f^{(3)}(x)+\cdots$$ Esto es bastante mejor, ya que como $h_1\approx h_2$, los sucesivos términos desaparacen prácticamente y se les da mucha menos importancia. Aunque no lo parezca mucho, así se ha disminuido mucho el error. De hecho, para el caso particular que $h_1=h_2:=h$, se tiene que es realmente bella. $$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f^{(1)}(x) + \frac{h^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big(h^4\big)$$ Esto se conoce como la derivada centrada, que como se puede observar tiene un error asociado mucho menos que los dos casos que inicialmente se contemplaron.

Así pues, todo se puede resumir en: $${y_i}^\prime \approx \begin{cases} \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} & i=1 \\[9pt] \displaystyle \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{x_{i+1}-x_{i-1}} & i=2,\cdots,N-1 \\[9pt] \displaystyle \frac{y_N-y_{N-1}}{x_N-x_{N-1}} & i=N \end{cases}$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1181) - La ratio plástica (número plástico). El hermano del número áureo

Todos bien conocemos el número áureo, $\varphi$ donde la definición que se suele dar es dados $a>b>0$ se define como la proporción: $$\varphi = \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \implies \varphi = \frac{1+\sqrt{5\,}}{2}$$ La ratio plástica $\rho$ se define de una mana similar: dados $a>b>c>0$ se define como la razón $$\rho = \frac{b+c}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$ Esto nos llega a la ecuación de tercer grado $x^3-x-1=0$ es bastante similar a la de la razón áurea, $x^2-x-1=0$. Como es una ecuación cúbica en función de la formula de Cardano $$\rho = \sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,}+\sqrt[3]{\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,} = \frac{2}{\sqrt{3\,}}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{3\sqrt{3\,}}{2}\right)\right) = 1\text{'}3247179572447460259609088544781\cdots$$ De forma similar, hay relaciones similares con sendos polinimios: $$\frac{x^2-x-1}{x-\varphi} = x+\frac{1}{\varphi}= x+(\varphi-1) \qquad \frac{x^3-x-1}{x-\rho} = x^2 + \rho x + \frac{1}{\rho} = x^2+\rho x + (\rho^2-1)$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1171) - La constante y secuencia de TRIBONACCI

El lector bien conoce la constante de Fibonacci, la raíz mayor que $1$ a la ecuación cuadrática $x^2=x+1$, que surge al estudiar el comportamiento asintótico de la sucesión recursiva definida como $F_0=0,F_1=1, F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$.

Consideremos ahora otro caso, otro tipo de sucesión, la dada por $T_0=0,T_1=0,T_2=1,T_{n+1}=T_n+T_{n-1}+T_{n-2}$. Mientras que en la de Fibonacci cada elemento se definía como la suma de los dos anteriores, aquí se define como la suma de los 3 anteriores. Esta secuencia es la A000073 en la OEIS. Otras secuencias también reciben el nombre de secuencia de Tribonacci según los iterantes iniciales, pero todas satisfaciendo la misma relación de recurrencia, y por ende el mismo comportamiento asintótico.

Aquí la constante de Tribonacci es la raíz mayor que $1$ a la ecuación cúbica $x^2=x^2+x+1$, que se puede reescribir como $x^4-2x^3+1=0$. Este constante es la misma independientemente de la definición de iterantes iniciales, ya que solo depende de la relación de recurrencia. En virtud de la fórmula de Cardano, este número acepta una fórmula cerrada para poder escribirse: $$x = \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33\,}\,}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33\,}\,}}{3} = \frac{1}{3}+\frac{4}{3}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{19}{8}\right)\right) \approx 1\text{'}8392867552141611325518525646533\cdots$$ Veamos algunos gráficos:

Sucesión en escala logarítimica. Nótese que tiene un comportamiento geométrico asintóticamente

Ratio de dos términos consecutivos de la sucesión de Tribonacci

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1163) - ¿Dados ideales pero no honestos?

¿Existen dos dados ideales (que cada cara sea equiprobable), con otros números en las caras con respecto al dado estándar, tales que al tirarlos conjuntamente den la misma probabilidad que al tirar dos dados ideales?

La respuesta simple y llanamente es sí. Incluso de casos no triviales como $\{0,1,2,3,4,5\}$ y $\{2,3,4,5,6,7\}$ o similares. La solución se conoce como dados de Sicherman, y la solución es única si se impone que no pueda tener ninguna cara un $0$. Dichos dados tienen por caras: $\{1,2,2,3,3,4\}$ y $\{1,3,4,5,6,8\}$.

Cómo llegar a la solución es realmente curioso al asignar a cada dado un polinomio $p(x)$ donde cada monomio tiene como grado la el número de la cara y su coeficiente es cuántas caras tienen ese número. Por ejemplo, el dado estándar es $x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6$, mientras que los de Sicherman son $x+2x^2+2x^3+x^4$ y $x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$. En general para hallar los coeficientes de la solución no-trivial uno debe imponer que ningún dado tenga una cara con $0$, es decir $p(0)=0$, y que el dado tenga $6$ caras, es decir, $p(1)=6$.

Así pues buscamos dos polinomios $P(x),Q(x)$ tal que $P(x)Q(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2=x^2(1+x)^2(1-x+x^2)^2(1+x+x^2)^2$. La condición de que $p(0)=0$ implica que $x|P(x)$ y $x|Q(x)$, mientras que las de $p(1)=6$ implica que $(1+x)(1+x+x^2)|P(x)$ y $(1+x)(1+x+x^2)|Q(x)$. Nos queda el factor $(1-x+x^2)^2$ por determinar. Si se "reparte por igual" entre ambos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, se vuelve a tener el mismo polinomio, mientras que si ponemos $P(x)=x(1+x)(1+x+x^2)=x+2x^2+2x^3+x^4$ y $Q(x)=x(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)^2=x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$.

Para más información y sobre el vídeo que inspiró en parte esta entrada, vea el lector el vídeo en este enlace


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1153) - Tirar dos dados: Distribución no uniforme a partir de uniformes

Consideremos un dado honesto o ideal, como con los que jugamos al monopoly, oca, parchís o trivial. Este dado tiene seis caras, convientemente numeradas del $1$ al $6$. Al ser ideal, y por la regla de Laplace, todos tienen la misma probabilidad de aparecer $\frac{1}{6}$.

Sin embargo, consideremos dos dados, ambos honestos, sumemos los resultados al lanzarlos. La tabla de posibles resultados es (siendo la primera fila y columna lo que sale en cada dado):
Nótese que se repiten varios resultado; algunos de varias veces y otros otros no tanto. ¿Qué es más probable sacar un 11 o un 12? Leibniz se equivocó y argumentó que ambos eran igual de probables ya que $6+6=12$ y $5+6=11$, ya que solo hay una posible suma que diese $11$. El problema de Leibniz fue considerar los dados como idénticos e indistinguibles. Sin embargo, con un dado rojo y otro azul, se ve fácilmente que hay dos opciones para obtener el $11$ o bien cinco rojo y seis azul, o bien cinco azul y seis rojo.Veamos la tabla de probabilidades

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \end{array}$$

De hecho el número $7$ es el más probable de obtener con una probabilidad de $\frac{6}{36} = 16\text{'}\bar{6}\%$, lo que significa que es tan probable como cualquier otro resultado de un dado ideal individual. Mientras tanto sacar los extremos de $1$ o bien $12$ tienen cada uno una probabilidad de $\frac{1}{36} = 2\text{'}\bar{7}\%$.

Comparemos sendas funciones de masa de probabilidad y sendas funciones de probabilidad acumuladas:

Función de masa de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Función de probabilidad acumulada de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Siempre me ha sorprendido cómo, el ejemplo del dado que se introduce desde 3º ESO como la antonomasia de caso uniforme, si se suman dos se tiene una distribución no uniforme.

Consideremos una última cosa. En vez de solo sumar, sumemos y quedémonos con el resto de dividir entre $6$, que en este caso es equivalente a restar $6$ si la suma es estrictamente mayor que $6$. Aquí volvemos a una distribución uniforme. $$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline + (\mathrm{mod }6) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$$ Este truco se puede utilizar para intentar "regularizar" la distribución de dos dados donde uno es no ideal.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

( 1151 ) - La belleza en las curvas de Bezier

 No, ese tipo de curvas no (Bézier era un tío), hoy vamos a hablar de cómo podemos construir curvas que pasen por 2 puntos de una forma que, si habéis usado alguna vez Photoshop, os va a resultar familiar.

Inicialmente, si tenemos 2 puntos y queremos unirlos por una curva, lo más sensato sería inventarnos con buen criterio un tercer punto en el medio y hallar la parábola usando el polinomio de Newton o algún otro método de cálculo numérico.

Pero vamos a plantearlo de otra forma.

Imagina 2 puntos, la curva más simple que pasa por ellos es una recta, que podemos parametrizar como $L_{0} = \lambda\cdot P_{0} + (1-\lambda)\cdot P_{1}$, o sea, que según $\lambda$ varía entre 0 y 1, el punto se "desliza" entre $P_{0}$ y $P_{1}$.

Consideremos ahora 3 puntos, pero en vez de hacer lo que ya sabemos, vamos a intentar usar esa idea del deslizador.

Cogemos $P_{0}$ y $P_{1}$, consideramos su deslizador $L_{0}$, y por otra parte cogemos $P_{1}$ y $P_{2}$ con su deslizador $L_{1}$.

Si hacemos variar el mismo $\lambda$ para ambos, los deslizadores van en algún sentido "sincronizados", como empiezan y acaban su recorrido con el mismo $\lambda$, parecen sincronizados, pues si usamos ahora el deslizador entre $L_{0}$ y $L_{1}$, o sea, 2 puntos que se mueven en los segmentos  $P_{0}P_{1}$ y $P_{1}P_{2}$, conseguimos un comportamiento más suave, una curva entre los 3 puntos que no necesariamente los interpola.

Esto podemos hacerlo con cualquier cantidad de puntos que queramos, y se llaman curvas de Bézier, que pueden ser lineales (deslizadores), cuadradas (la curva que acabamos de describir), cúbicas... etc.

Este video introduce más gráficamente la idea tras las curvas.

 Cuando usamos herramientas de dibujo como el pincel de Photoshop, estamos usando inconscientemente este tipo de curvas.

                    

Recomiendo enormemente también este video sobre las curvas de Bézier que ha sido mi inspiración para escribir sobre ellas, vale muchísimo la pena y Freya tiene varios videos más de formato largo y animaciones chulísimas que están genial.

Autor: Raúl Barrero 

(1123) - La tricolorabilidad y los movimientos Reidemeister

 La teoría de nudos es el area de las matemáticas que se dedica a estudiar, como dice el nombre, los nudos y sus propiedades. 

Por si nunca lo habías visto, existen nudos que, al hacer fuerza sobre ellos, se desatan por su propia estructura, o sea, que sin necesidad de mover los extremos por dentro de distintas partes del nudo podemos deshacerlo con facilidad, como este:

                

Imagina que vas a hacer rapel por un acantilado y te encuentras ya el equipo atado al arnés listo para bajar ¿podrías, sin deshacer el nudo, estar seguro de que no te vas a caer? o sea, lo que quieres ver es si con una serie de movimientos (que no involucren los extremos de la cuerda), puedes asegurarte de que ese nudo no se transforma en la cuerda simple, una recta, el unknot.

Para esto hay 2 resultados que me parecen muy curiosos

Movimientos de Reidemeister

Si tienes un nudo cualquiera (uno muy simple) y lo enredas, le das vuelta, lo giras... hasta que no quede reconocible el nudo original ¿cómo devolverías ese nudo más complejo al original? para eso existe un teorema que nos asegura que, con tan solo 3 movimientos, somos capaces de transformar cualquier nudo en otro isotópico a él, o sea, uno que mantiene todas sus propiedades que en esencia es "el mismo" que el original, pues podemos transformar cada uno en el otro sin cortar la cuerda ni tocar los extremos.

Los movimientos de Reidemeister son :

                

Por tanto, si aplicamos este tipo de movimientos, podríamos desenredar cualquier nudo a su forma más simple, que en nuestro caso, supone desatar la cuerda del arnés.

Ahora pasemos a la tricolorabilidad

Tricolorabilidad

Coge un nudo, pintalo en un papel, y separa las intersecciones con huecos, si puedes colorear el nudo con solo 3 colores, entonces tu nudo es tricolorable. 

Lo curioso de esta propiedad es que, como se mantiene a través de los movimientos Reidemeister, podemos saber de forma inmediata que algunos nudos no son isótopos, o sea, que podemos transformar uno en el otro sin necesidad de usar los extremos de la cuerda para deshacer nudos.

            

Estas 2 propiedades son muy utiles para separar nudos entre sí, y se han hecho "tablas periódicas" de nudos en las que se recogen nudos que son distintos entre sí, se clasifican por la cantidad de cruces que tienen sus proyecciones en el plano (su sombra sobre el papel).

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Playlist Knot Theory

Autor: Raul Barrero