Las matemáticas han sabido fascinar a la humanidad durante siglos, dado este historial uno no puede menos que considerarlas curiosas. En esta entrada he querido rendir homenaje a ese mismo carácter, rescatando, aun sin la atención que merece, el problema de la duplicación del cubo.
Como suele ocurrir en historias tan antiguas e incluso en otras que no lo son tanto, se encuentran distintas versiones en función de dónde se busque. Yo por mi parte he encontrado dos, el cual se quiera considerar auténtica, si bien no se prefiere tomar ambas por verídicas, lo dejo ya a criterio del lector.
Sea pues la primera: Allá por el siglo V ac, en la antigua ciudad griega de Atenas se extendió una epidemia de peste, siguiendo la costumbre se recurrió al oráculo de Apolo, en Delfos (cuyas ruinas aparecen en la imagen), para preguntar que motivaba la cólera de los dioses. La respuesta dada fue que Apolo no estaba satisfecho con su templo, al parecer por considerarlo la deidad muy pequeño, y quería uno el doble de grande.
Así, los atenienses comenzaron la construcción del nuevo templo. Tratándose este edificio de un cubo, se planificó ingenuamente duplicar el valor de cada medida. De esta forma, se construyó otro templo con el doble de alto, ancho y largo; efectivamente este nuevo cubo no es el doble de grande que el anterior, sino que es 8 veces mayor.
Al parecer, Apolo no quedó contento con aquella chapuza matemática y la peste no cesó.
La segunda versión pone el cubo como tumba de un príncipe cretense, a cuyo padre le pareció muy pequeña por lo que decidió duplicarla. Siguiendo las indicaciones de Eurípides, un sabio de su corte, se duplicaron las medidas de la misma forma que en la historia anterior.
En cualquier caso y sea cual sea la historia verdadera, el problema cautivó muchas mentes matemáticas a lo largo de la historia.
La segunda versión pone el cubo como tumba de un príncipe cretense, a cuyo padre le pareció muy pequeña por lo que decidió duplicarla. Siguiendo las indicaciones de Eurípides, un sabio de su corte, se duplicaron las medidas de la misma forma que en la historia anterior.
En cualquier caso y sea cual sea la historia verdadera, el problema cautivó muchas mentes matemáticas a lo largo de la historia.
Por supuesto, encontrar la solución al problema es sencillo, simplemente se necesita hallar una medida tal que el cubo resultante tenga el doble de volumen que el anterior, así:
Sea `a´ la medida del lado del cubo y `b´ la nueva medida, b=(2^(1/3))*a
Dado nuestro sistema numérico es sencillo realizar esta operación. Los números usados en la Grecia antigua complicaban las cosas, animando la resolución de problemas geométricos con regla y compás.
Es justo ese el caso interesante, el intentar hallar nuestro `b´ con regla y compás.
Aparecen a continuación una serie de intentos.
Hipócrates de Quíos fue por lo que se sabe el primero en llegar a hacer un avance. Para ello utilizó el concepto de proporción continua.
Sean x e y longitudes de dos segmentos y a, b las longitudes desde el principio de los segmentos a unos ciertos puntos; se dice que x e y están en proporción continua si y solo si verifican: a/x=x/y=y/b.
Así, para (a/x)^3=a/x*x/y*y/b=a/b
Es justo ese el caso interesante, el intentar hallar nuestro `b´ con regla y compás.
Aparecen a continuación una serie de intentos.
Hipócrates de Quíos fue por lo que se sabe el primero en llegar a hacer un avance. Para ello utilizó el concepto de proporción continua.
Sean x e y longitudes de dos segmentos y a, b las longitudes desde el principio de los segmentos a unos ciertos puntos; se dice que x e y están en proporción continua si y solo si verifican: a/x=x/y=y/b.
Así, para (a/x)^3=a/x*x/y*y/b=a/b
Con que x^3=b/a*a^3
Para duplicar a^3 solo habrá que usar b=2a, sin embargo, Hipócrates no pudo encontrar tales medidas.
Merece también ser nombrado Arquitas de Tarento (quien aparece en la imagen), el cual allá por el siglo IV a.c. se aproximó bastante a la solución operando sobre 3 dimensiones, contrastando con las figuras planas que solían emplearse.
Otro nuevo intento fue el de Menecmo, este llegó a una solución mediante la intersección de la parábola x^2=y y de la hipérbola y=2/x. Siendo efectivamente la solución la medida buscada. Sin embargo, Menecmo tampoco pudo llegar a representar esa cantidad.
En la imagen aparece la representación de las dos gráficas.
El problema siguió sin solución durante muchos siglos, durante los cuales un gran número de geómetras fueron aproximando el resultado y acercándose cada vez más a esa medida que nunca se lograba representar.
No fue hasta la primera mitad del siglo XIX cuando el matemático francés Pierre Wantzel dio con una demostración de la imposibilidad de hallar esta medida mediante regla y compás.
No incluiré la demostración entera, por extensa y por lo complicado que resulta escribir matemáticas en estos medios. Dejo, no obstante, un enlace a disposición de los interesados:
http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/Suzuki.pdf
No fue hasta la primera mitad del siglo XIX cuando el matemático francés Pierre Wantzel dio con una demostración de la imposibilidad de hallar esta medida mediante regla y compás.
No incluiré la demostración entera, por extensa y por lo complicado que resulta escribir matemáticas en estos medios. Dejo, no obstante, un enlace a disposición de los interesados:
http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/Suzuki.pdf
En esencia, la demostración se basa en que solo podemos representar con regla y compás raíces de exponente 2^n (para todo n natural) pero no para cualquier exponente que no sea de esa forma.
Así, la distancia `b´ al ser raíz de un polinomio de grado 3, no es un número construible, siendo estos aquellos que pueden hallar a partir de una serie finita de operaciones.
En definitiva, este problema sirve como prueba de los inconvenientes de las matemáticas de la antigüedad, las cuales se veían ampliamente limitadas por los medios de que se disponían. En general, basando la ciencia en un sistema representativo muchísimas operaciones como esta son imposibles de realizar. Cosas como esta constituyen las razones de que hayamos llegado a nuestro sistema numérico actual.
Diego Munuera Merayo.
