( 257 ) Sangakus

Los juegos de ingenio y los acertijos matemáticos son una excelente herramienta de estímulo y divulgación de las matemáticas. Todos nos hemos enfrentado en alguna ocasión a un reto matemático, y el esfuerzo invertido en la búsqueda de la solución, se ve recompensado una vez que se resuelve, con gran satisfacción y una extraña sensación de felicidad.

Sangaku

En esta entrada queremos mostraros un tipo de desafíos matemáticos, los sangakus. Los sangakus, cuyo significado literal es “tablillas matemáticas”, son unas tablillas de origen japonés que contienen problemas matemáticos, principalmente geométricos. Estas tablillas se depositaban en templos y santuarios como ofrendas votivas a los dioses, o como retos destinados a los visitantes de los edificios sagrados. Estaban escritos en en kanbum, una forma antigua de japonés, y esencialmente fueron creadas durante el período Edo o período Tokugawa, que es una división de la historia de Japón que se extiende desde el año 1603 hasta el 1868.

Sangaku colgado en 1854 en el Santuario Sugawara Tenman.

De las 2625 tablillas de este tipo que se supone que existieron, única- mente se conservan 884. La tablilla sangaku más antigua que se conseva proviene de la prefectura de Tochigi (al norte del actual Tokio) y data de 1683, aunque el primer sangaku del que se tiene conocimiento es de 1668, y fue mencionado por el matemático Yamaguchi Kanzan (1781-1850).

Sangaku del Sexteto de Soddy

La mayoría de los problemas que aparecen en los sangakus están relacionados con la geometría euclidiana, y más específicamente sobre círculos, elipses, esferas, cuadrados, triángulos, conos, cubos y volúmenes de diversos sólidos. También se encuentran temas algebraicos, como sistemas de ecuaciones y ecuaciones diofánticas simples. Se podría considerar que una gran parte de estos problemas entrarían en la categoría de la matemática recreativa, necesitando para su resolución resultados sencillos como el Teorema de Pitágoras y conocimientos de semejanza de triángulos. No obstante, algunos requieren de teoremas más complejos como el Teorema de los círculos de Descartes, o incluso se adelantan a famosos resultados occidentales como el Teorema de Malfatti, el Teorema de Casey o el Sexteto de Soddy. 

A continuación os dejamos algunos ejemplos para que os podáis entretener y divertir con su resolución:

Sangaku 1: Pertenece a una tablilla matemática de 1824 encontrada en un templo de la prefectura de Gunma. Dice así: “Las tres circunferencias de la figura son tangentes entre sí y también a la recta horizontal, calcúlese la relación entre los radios de las tres circunferencias”.

Solución:

Si denotamos por r₁, r₂ y r₃ a los radios de las circunferencias C₁, C₂ y C₃, entonces 

Se puede resolver aplicando el Teorema de Pitágoras.

Este problema es un caso particular del problema de las cuatro circunferencias tangentes de Descartes cuando la cuarta circunferencia tiene curvatura cero.

Sangaku 2: Aparece en una tablilla del templo budista de Abe Monju-in, en la prefectura de Tokushima, y data de 1877. El enunciado dice: “Considérese un triángulo equilátero de lado t como se muestra en la figura, un cuadrado de lado s y un círculo, que se tocan entre sí dentro de un triángulo rectángulo ABC cuyo cateto vertical es a. Encontrar t en función de a”.

Solución:

El valor de t es: 

Sangaku 3: Este problema pertenece a una tablilla matemática colgada en el santuario Katayamahiko, en la prefectura de Okayama, en 1873. Dice: “Sea un campo con forma de triángulo rectángulo ABC, con AC = 30 m y BC = 40 m. Como se muestra en la figura, se quiere trazar un camino DEHKJIGF de anchura 2 m y de forma que los tres trozos de campo que quedan tengan la misma área. Encontrar BE, DE, HC, JC, AI y FG”.

Solución:

BE = 21,77 m; DE = 16,33 m; HC = 16,23 m; JC = 10,96 m; AI = 17,04 m y 

FG = 4,87 m.

Sangaku 4: Y por último, os dejamos un sangaku algebraico del santuario Hioki-jinja que dice: “Se tienen dos cubos, A (el más grande) y B. La suma de los volúmenes de A y B es 4463 shaku (80499 cm³) y la diferencia entre los lados de A y B es 4 sun (13.2 cm). Encontrar la longitud del lado de B”.

Solución:

Sean a y b las longitudes respectivas de los lados de los cubos A y B, entonces 

a = 39,6 cm y b = 26,4 cm.

En las últimas décadas se ha producido un renacer de los sangakus, e incluso los profesores en Japón están haciendo uso de ellos para enseñar geometría a los estudiantes. ¡Sin duda es un enfoque más que atractivo!

Nuevo sangaku colgado en el Santuario Kasai en el año 2009

En la web de culturacientifica.com encontraréis mucha más información relativa a la historia de los sangakus, así como más ejemplos de los mismos. 

( 251 ) Métodos de numeración; Sumeria

Sistemas de numeración de la antigüedad.

A lo largo de la historia numerosas civilizaciones se han alzado, llegando a un grado mayor o menor de desarrollo, de la mano de este alzamiento y haciéndolo posible han estado siempre las matemáticas.

Poco preocupaba a un cazador del paleolítico el representar cantidades mediante números y hacer con ellos operaciones, sin embargo eso mismo se tornó en algo vital tras la aparición de la agricultura. Así las primeras sociedades "urbanas" desarrollaron métodos numéricos que respondían a unas mismas, o tal vez más bien similares, necesidades de formas distintas; así aparecieron a lo largo de los siglos diversos métodos para representar símbolos numéricos, algunos más eficientes que otros, sin que esto esté determinado por el orden cronológico de su aparición.

En este artículo y posteriores describiremos tres de ellos, a saber: el sumerio, el griego o romano (siendo estos dos muy similares y tomado como uno solo) y el arábigo.

Haríamos bien en comenzar por el sumerio, dado que fue este el primero que existió, o al menos el primero del que se tiene noticia. Es asimismo un caso verdaderamente particular, puesto que es el único de los aquí tratados con base sexagesimal y, a pesar de su antigüedad, incluye elementos que recuerdan al actual. Aunque antes de hablar de esto me permitiré el describir como se originó aquello de representar números de forma escrita.

A continuación pido al lector que se imagine a sí mismo como un funcionario de una ciudad sumeria, pongamos por ejemplo de Lagash, en donde se han encontrado algunos de los restos arqueológicos con operaciones más antiguos del mundo. Tras la cosecha el rey de la ciudad pide (o más bien ordena) contar cuantos sacos de cebada se han producido, dado el alto precio con el que se paga el error conviene no errar en la cuenta; existe ya un método de contabilidad bien fundamentado y arraigado en las escuelas, el cual le han enseñado e inculcado y con el cual le piden que cuente. El método es el siguiente: Primero se cuentan a mano el número de sacos de cebada, o de lo que fuere que se quiere contar, tras esto se elabora una bolita de barro por cada saco, para que estas no se extravíen se guardan en una urna del mismo material. Durante mucho tiempo el método de representación tenía aquí su fin aquí, a la hora de evaluar el número de bolas se rompía la urna y se contaban, sin embargo, algún contable avispado tuvo la sagaz idea de representar mediante marcas en la superficie de la urna cuantas bolas había, haciendo innecesario el romperla.

Supongo que a nuestro lector-contable le resultará superfluo el crear las bolas y el recipiente, siendo que ya aparecen los números representados en la superficie, pues bien, resultó esa una idea verdaderamente revolucionaria y aunque parece lo que cualquier persona haría, fue algo que tardó mucho en implementarse.

Es incluso surrealista, pero los antiguos pasaron muchas generaciones creando esas urnas superfluas, rompiéndolas y contando; parece que sin que importe la época ni el lugar en la sociedad siempre existirán costumbres absurdas.

Aparece en la imagen previa una de las urnas de las que hablaba, con sus bolas dentro. Como puede observarse no se aprecian signos en su superficie por lo que la apertura de esta si estaba justificada.

Ahora ya por fin, quisiera hablar del método de numeración en si. Como ya he anticipado lo más notorio del sistema sumerio es que se utiliza una base sexagesimal, el motivo exacto de esto se desconoce, aunque existen varias hipótesis. La más extendida es que en esa época se usaban las falanges para contar, teniendo cada mano 12 de estas, con lo que la representación en tablillas pasaría ya a ser tan natural como nuestro sistema basado en dedos.

Otra hipótesis es que se crearon unas unidades que se adaptasen a los calendarios utilizados, los ciclos lunares en que los mesopotámicos contaban sus años son múltiplos de 6, con lo que, dado que se querían hacer cálculos sobre agricultura que tienen en cuenta esos ciclos lunares, parece lógico que se siguiese ese criterio.

En cualquier caso y fuese cual fuese el verdadero origen, gracias a su método se lograron grandes avances y descubrimientos, la eficacia de este está en la simplicidad que ofrece a la hora de hacer cálculos, no parece extraño el gigantesco desarrollo que tuvo la geometría en la Grecia antigua siendo que una operación simple se vuelve un suplicio con su notación. Los números escritos se reducían a un conjunto de clavos y cuñas para los cuales la posición daba la magnitud de lo representado; de forma análoga al sistema actual un clavo puede ser una unidad o sesenta de un orden superior en función de donde esté.

Con este sistema también existía la representación de números racionales, expresados también por sesentavos (1/2=>30/60). Sin embargo, no concebían el número 0, habría que esperar siglos para que esto ocurriese.

Merece también la pena el describir las unidades de medida.

En cuanto a longitud existía el kus (codo) que equivalía a unos 50 centímetros, también se utilizaban el gar (12 kus) y el su-si (1/30 kus).

Las unidades de área, y como es lógico, estaban construidas a partir de las de longitud. Existía el sar (huerto), un cuadrado de 1 gar de lado. También se utilizaba el ese, siendo un cuadrado de 600 sar de área. Las unidades de volumen eran de la misma forma

Se sabe también que existían tablas de "fórmulas" de las que los matemáticos de la época se valían para hallar áreas y volúmenes de figuras geométricas.

En si, el método ideado por esta gente fue magnífico, incluso con las deficiencias que presentaba (la ausencia de 0, mayormente), fue un sistema efectivo que permitió a sus escribas profundizar en los números y dar con expresiones que, con un sistema como el griego, hubiera sido dificilísimo si no imposible determinar. A parte de esto, es buen signo de lo espléndido del sistema el que muchos de sus elementos, como el carácter posicional, fueron retomados por otras culturas y han sobrevivido hasta nuestra época.

Hasta aquí la parte que atañe a Mesopotamia, en entradas posteriores se seguirá con Grecia y Roma.

Diego Munuera Merayo.