El Último Teorema de Fermat o Teorema de Fermat-Wiles afirma que la ecuación diofántica $x^n+y^n = z^n$
no tiene soluciones no-triviales en $\mathbb{N}$
donde $n\in\mathbb{N}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{1,2\}$
. Hoy veremos cómo podemos extender este resultado.
El caso para $ x,y,z\in \mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z}$ se puede generalizar a $ x,y,z\in \mathbb{Z} $ (en especial, a $ x,y,z\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} $ ):
· Si $n=2k$ para algún $k\in\mathbb{N}$ , se tiene que $(-a)^{2k}=+\, a^{2k}$ donde $\pm a\in\mathbb{Z}$ , por lo que para exponentes pares, las bases pueden ser enteras.
· Si $n=2k+1$ para algún $k\in\mathbb{N}$ , se tiene que $(-a)^{2k+1}=-\,a^{2k+1}$ donde $\pm a\in\mathbb{Z}$ , por lo que bastaría con llevar las bases negativas al otro miembro de la ecuación para volver a la forma más conocida del teorema.
Veamos ahora, por una reducción al absurdo, que no se puede tener $ x,y,z\in \mathbb{Q} $ a la vez como solución (en especial, a $ x,y,z\in \mathbb{Q\hspace{-3pt}}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{Z} $ ). Supongámoslo resuelto primero (suponer que es posible es el absurdo en sí):
$$ \begin{array}{cccccc}
x^n & + & y^n & = & z^n & \\
\displaystyle \left(\frac{a_1}{a_2}\!\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle\left(\frac{b_1}{b_2}\!\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{c_1}{c_2}\!\right)^{\!\! n} & \\
\big(a_1b_2c_2\big)^{\! n} & + & \big(a_2b_1c_2\big)^{\! n} & = & \big(a_2b_2c_1\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.}
\end{array} $$
Si existieran $\displaystyle x = \frac{a_1}{a_2},y= \frac{b_1}{b_2},z= \frac{c_1}{c_2}\in \mathbb{Q} $ , con $ a_j, b_j, c_j \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\}$ para $j=1,2$ , implicaría que existen unas soluciones $ a_1b_2c_2,a_2b_1c_2,a_2b_2c_1\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( $\mathit{Q.E.A.}$ ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes naturales. Como un corolario tenemos:
$$ \boxed{ \nexists q_1,q_2 \in\mathbb{Q} \,\big/\, {q_1}^n + {q_2}^n = \pm 1 \quad\forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 3 } $$
Veamos ahora que el exponente puede ser hasta un número entero (incluso negativo) $-n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} \,\big|\, n \in \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z}$ . Supongamos resuelto el problema (otra reducción al absurdo):
$$ \begin{array}{cccccc}
x^{-n} & + & y^{-n} & = & z^{-n} & \\
\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle \left(\frac{1}{y}\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{1}{z}\right)^{\!\! n} & \\
\big(yz\big)^{\! n} & + & \big(xz\big)^{\! n} & = & \big(xy\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.}
\end{array} $$
Si existiera $-n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N}$ , con $ x,y,z \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ implicaría que existen unas soluciones $ yz,xz,xy\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( $\mathit{Q.E.A.}$ ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes enteros .
Es más podemos afirmar que $\sqrt[n]{2\,} \not\in \mathbb{Q}$ al menos para $n \geqslant 3$ : $$ \begin{array}{cccccc}\sqrt[n]{2\,} & = & \displaystyle \frac{a}{b} & \\2 & = & \displaystyle \frac{a^n}{b^n} & \\ a^n & = & 2b^n &\qquad\mathit{Q.E.A.}\end{array} $$ (Se puede generalizar este resultado para dado$n\in\mathbb{N}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{1,2\}$ fijo, el número $\sqrt[n]{a\,}\not\in\mathbb{Q}$ si $\sqrt[n]{a-1\,}\in\mathbb{Q}$ .) Por todo esto, podemos afirmar que:
El Teorema de Fermat-Wiles afirma que la ecuación diofántica $x^\alpha+y^\alpha = z^\alpha$ carece de soluciones no-triviales $(x,y,z)\in\mathbb{Q}^3$ con $\alpha\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{\pm 1,\pm 2\}$ .
Como un último corolario podemos afirmar que no existe un triángulo rectángulo cuyos lados sean todos a la vez cuadrados perfectos, o cubos perfectos, ... .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
El caso para $ x,y,z\in \mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z}$ se puede generalizar a $ x,y,z\in \mathbb{Z} $ (en especial, a $ x,y,z\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} $ ):
· Si $n=2k$ para algún $k\in\mathbb{N}$ , se tiene que $(-a)^{2k}=+\, a^{2k}$ donde $\pm a\in\mathbb{Z}$ , por lo que para exponentes pares, las bases pueden ser enteras.
· Si $n=2k+1$ para algún $k\in\mathbb{N}$ , se tiene que $(-a)^{2k+1}=-\,a^{2k+1}$ donde $\pm a\in\mathbb{Z}$ , por lo que bastaría con llevar las bases negativas al otro miembro de la ecuación para volver a la forma más conocida del teorema.
Veamos ahora, por una reducción al absurdo, que no se puede tener $ x,y,z\in \mathbb{Q} $ a la vez como solución (en especial, a $ x,y,z\in \mathbb{Q\hspace{-3pt}}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{Z} $ ). Supongámoslo resuelto primero (suponer que es posible es el absurdo en sí):
$$ \begin{array}{cccccc}
x^n & + & y^n & = & z^n & \\
\displaystyle \left(\frac{a_1}{a_2}\!\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle\left(\frac{b_1}{b_2}\!\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{c_1}{c_2}\!\right)^{\!\! n} & \\
\big(a_1b_2c_2\big)^{\! n} & + & \big(a_2b_1c_2\big)^{\! n} & = & \big(a_2b_2c_1\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.}
\end{array} $$
Si existieran $\displaystyle x = \frac{a_1}{a_2},y= \frac{b_1}{b_2},z= \frac{c_1}{c_2}\in \mathbb{Q} $ , con $ a_j, b_j, c_j \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\}$ para $j=1,2$ , implicaría que existen unas soluciones $ a_1b_2c_2,a_2b_1c_2,a_2b_2c_1\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( $\mathit{Q.E.A.}$ ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes naturales. Como un corolario tenemos:
$$ \boxed{ \nexists q_1,q_2 \in\mathbb{Q} \,\big/\, {q_1}^n + {q_2}^n = \pm 1 \quad\forall n\in\mathbb{N}, n\geqslant 3 } $$
Veamos ahora que el exponente puede ser hasta un número entero (incluso negativo) $-n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N} \,\big|\, n \in \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z}$ . Supongamos resuelto el problema (otra reducción al absurdo):
$$ \begin{array}{cccccc}
x^{-n} & + & y^{-n} & = & z^{-n} & \\
\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)^{\!\! n} & + & \displaystyle \left(\frac{1}{y}\right)^{\!\! n} & = & \displaystyle \left(\frac{1}{z}\right)^{\!\! n} & \\
\big(yz\big)^{\! n} & + & \big(xz\big)^{\! n} & = & \big(xy\big)^{\! n} & \qquad\mathit{Q.E.A.}
\end{array} $$
Si existiera $-n\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\mathbb{N}$ , con $ x,y,z \in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ implicaría que existen unas soluciones $ yz,xz,xy\in \mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{0\} $ que satisfarían la Conjetura de Fermat, lo que es absurdo ( $\mathit{Q.E.A.}$ ), ergo el Teorema de Fermat-Wiles no tiene soluciones racionales para exponentes enteros .
Es más podemos afirmar que $\sqrt[n]{2\,} \not\in \mathbb{Q}$ al menos para $n \geqslant 3$ : $$ \begin{array}{cccccc}\sqrt[n]{2\,} & = & \displaystyle \frac{a}{b} & \\2 & = & \displaystyle \frac{a^n}{b^n} & \\ a^n & = & 2b^n &\qquad\mathit{Q.E.A.}\end{array} $$ (Se puede generalizar este resultado para dado$n\in\mathbb{N}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{1,2\}$ fijo, el número $\sqrt[n]{a\,}\not\in\mathbb{Q}$ si $\sqrt[n]{a-1\,}\in\mathbb{Q}$ .) Por todo esto, podemos afirmar que:
El Teorema de Fermat-Wiles afirma que la ecuación diofántica $x^\alpha+y^\alpha = z^\alpha$ carece de soluciones no-triviales $(x,y,z)\in\mathbb{Q}^3$ con $\alpha\in\mathbb{Z}\hspace{-3pt}\setminus\hspace{-3pt}\{\pm 1,\pm 2\}$ .
Como un último corolario podemos afirmar que no existe un triángulo rectángulo cuyos lados sean todos a la vez cuadrados perfectos, o cubos perfectos, ... .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
