En este artículo vamos a tratar unas identidades que tienen la forma de las ecuaciones de Maxwell, pero para gravitación en vez de electromagnetismo: En $1865$ Maxwell ($1831-1879$) publicó A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (Una teoría dinámica del campo electromagnético) donde exponía varias fórmulas que serían conocidas como Ecuaciones de Maxwell, pero se tuvo que esperar hasta $1884$ cuando Oliver Heaviside ($1850-1925$) y Williard Gibbs ($1839-1903$) las reformularon en la notación vectorial que usamos hoy día, y simplificando el número de ecuaciones. Veámoslas:
$$ \begin{matrix} \displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 4\pi K \rho & \quad & \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0 \\ \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{E} = - \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} & \quad & \displaystyle \vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \\ \end{matrix} $$
Vamos a tratar con la fuerza gravitatoria según la formulación Hooke-Newton ($a.\text{abril }1686$), la Ley de Gravitación Universal. En especial, para su notación diferencial del campo gravitatorio, $\text{d}\vec{g}$ , nos da la relación con la masa puntal, $\text{d}m$ . En mecánica newtoniana el Teorema de la cáscara (Shell's theorem) establece la equivalencia gravitatoria entre un cuerpo (con cualquier distribución de masa) con respecto a su centro de masa (con toda la masa localizada ahí).
$$ \vec{F} = \frac{GMm}{{{\|\vec{r}\|}_2}^2} \widehat{r} \implies \text{d}\vec{g} = G\frac{\text{d}m}{{{\|\vec{r}\|}_2}^2} \widehat{r} $$
Muchas veces para intentar visualizar campos vectoriales es recomendable imaginarse un "fluido virtual" que nos ayude a conceptuar lo que estudiamos. Veamos dichas ecuaciones y veamos qué significan:
$$ \boxed{ \vec{\nabla}\cdot\vec{g} = -4\pi G \rho \qquad\qquad \vec{\nabla}\times\vec{g} = \vec{0} } $$
Nótese que la constante $4\pi G$ (donde $G$ es la constante de Cavendish para la gravitación universal) solo nos cuenta cómo se amplifica/disminuye el efecto de la divergencia. La densidad de la fórmula, $\rho$ , hace referencia a la de un entorno alrededor de dicho punto, es decir, que puede ser $0$ (un punto del espacio) o estrictamente positiva (un punto con masa). Esto implica que cualquier superficie cerrada virtual que imaginemos (gaussiana) "crea" un campo gravitatorio atrayente hacia sí. De forma equivalente si existiesen densidades negativas (masas negativas) repelerían a las positivas (como en electromagnetismo).
La divergencia nos dice cuánto un campo apunta hacia adentro o hacia fuera de un punto concreto. En particular, la divergencia del campo gravatatorio, $\vec{\nabla}\cdot\vec{g}$ , nos dice que no hay fuentes de ese "fluido virtual", sino que todo punto o bien fluye a través, o bien es un sumidero. En especial, para cualquier superficie gaussiana, entra tanto o más fluido virtual del que sale. Piénsese en una bañera llena en el instante en el que se quita el tapón: el grifo está cerrado (no hay fuentes), y el agua está calma (divergencia $0$ ), o se va por el desagüe (sumidero).
El rotacional no es sobre el campo en sí, sino lo que el campo puede causar: nos dice en qué sentido algo dentro del campo girará o circulará (en condiciones "normales"). En particular, el rotacional del campo gravitatorio, $\vec{\nabla}\times\vec{g}$ , nos dice que si consideramos una barra con centro fijado (estático) no empezará a rotar.
Todo esto es un poco idealización porque según nos dice la teoría de la relatividad general de Einstein, no existe una fuerza gravitatoria, sino que es la percepción que tenemos de la deformación del espacio-tiempo. Y no es la masa en sí lo que lo crea sino el tensor energía-esfuerzo.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
