Es innegable que Sir Isaac Newton ($1643-1727$) revolucionó la Física con la publicación de su Principia Mathematica en $1687$ donde no solo introdujo la Ley de gravitación universal, sino que además introdujo tres axiomas que hoy día se conocen como las (tres) leyes de Newton, los postulados de la Mecánica newtoniana. Cabe resaltar la Ley Fundamental de la Dinámica (II Ley), que se suele presentar como $\vec{F}=m\vec{a}$ , o al decir que la aceleración es la segunda derivada respecto al tiempo de la posición, $\vec{F}=m\ddot{\vec{r}}$ , o sea, $\displaystyle \ddot{\vec{r}}=\frac{\vec{F}}{m}$ .
Toda la mecánica newtoniana trata sobre fuerzas y cómo afectan a las partículas. Sin embargo, desde finales del $\text{siglo XVIII}$ hay varias reformulaciones de la mecánica (clásica) que trabajan en su mayoría las energías en vez de las fuerzas, por ejemplo de mecánica lagrangiana (de $1788$ , donde se introducen coordenadas generalizadas), la hamiltoniana (de $1833$ , donde introduce además momentos conjugados), la routhiana (de $1855/1877$ , que es una mezcla de la dos últimas), y la que vino con la ecuación de movimiento de Gibbs-Appel (de $1879/1900$).
Sin embargo, Gauss ($1777-1855$) propuso aplicar su procedimiento de mínimos cuadrados (descubierto independientemente por él en $1809$ y por Legendre en $1805$) a una versión de la II Ley de Newton, en su artículo de $1829$ Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik (Sobre una nueva constitución universal de la Mecánica). Lo llamó Prinzip des kleinsten Zwanges, es decir, Principio de la mínima restricción (obligación).
Supongamos que tenemos un sistema de $n$ partículas que sabemos sendas posiciones y velocidades en un instante determinado (el inicial e.g.), $\big\{\vec{r}_i(t_0),\dot{\vec{r}}_i(t_0)\big\}_{i=1}^n$ , sendas masas $m_i$ sobre las que se aplican sendas fuerzas (conocidas) $\vec{F}_i$ . En un sistema sin restricciones en virtud de la II Ley de Newton, se tendrá que $\displaystyle\ddot{\vec{r}}_i=\frac{\vec{F}_i}{m_i}$ . Gauss definía la restricción $Z$ como: $$ Z\Big(\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) \overset{\text{def}}{=}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i \left(\ddot{\vec{r}}_i-\frac{\vec{F}_i}{m_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2m_i} (m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i)^2 \geqslant 0$$ Gauss lo describió como el principio dinámico más fundamental, ya que establece que la verdadera aceleración instantánea de cada una de las $n$ partículas del sistema es puntualmente el argumento que minimiza dicha restricción $Z$ , es decir, $\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\ = \operatorname{arg\,min} Z$ . Nótese que $Z\Big(\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) = Z\big(\ddot{\vec{r}}_1,\cdots,\ddot{\vec{r}}_n\big)$ es la función restricción de un conjunto de aceleraciones $\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n$ , la cual hay que minimizar . Si el sistema no está sujeto a una restricción, entonces $Z=0$ y evoluciona siguiendo las ecuaciones del movimiento de Newton.
Toda la mecánica newtoniana trata sobre fuerzas y cómo afectan a las partículas. Sin embargo, desde finales del $\text{siglo XVIII}$ hay varias reformulaciones de la mecánica (clásica) que trabajan en su mayoría las energías en vez de las fuerzas, por ejemplo de mecánica lagrangiana (de $1788$ , donde se introducen coordenadas generalizadas), la hamiltoniana (de $1833$ , donde introduce además momentos conjugados), la routhiana (de $1855/1877$ , que es una mezcla de la dos últimas), y la que vino con la ecuación de movimiento de Gibbs-Appel (de $1879/1900$).
Sin embargo, Gauss ($1777-1855$) propuso aplicar su procedimiento de mínimos cuadrados (descubierto independientemente por él en $1809$ y por Legendre en $1805$) a una versión de la II Ley de Newton, en su artículo de $1829$ Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik (Sobre una nueva constitución universal de la Mecánica). Lo llamó Prinzip des kleinsten Zwanges, es decir, Principio de la mínima restricción (obligación).
Supongamos que tenemos un sistema de $n$ partículas que sabemos sendas posiciones y velocidades en un instante determinado (el inicial e.g.), $\big\{\vec{r}_i(t_0),\dot{\vec{r}}_i(t_0)\big\}_{i=1}^n$ , sendas masas $m_i$ sobre las que se aplican sendas fuerzas (conocidas) $\vec{F}_i$ . En un sistema sin restricciones en virtud de la II Ley de Newton, se tendrá que $\displaystyle\ddot{\vec{r}}_i=\frac{\vec{F}_i}{m_i}$ . Gauss definía la restricción $Z$ como: $$ Z\Big(\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) \overset{\text{def}}{=}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i \left(\ddot{\vec{r}}_i-\frac{\vec{F}_i}{m_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2m_i} (m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i)^2 \geqslant 0$$ Gauss lo describió como el principio dinámico más fundamental, ya que establece que la verdadera aceleración instantánea de cada una de las $n$ partículas del sistema es puntualmente el argumento que minimiza dicha restricción $Z$ , es decir, $\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\ = \operatorname{arg\,min} Z$ . Nótese que $Z\Big(\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) = Z\big(\ddot{\vec{r}}_1,\cdots,\ddot{\vec{r}}_n\big)$ es la función restricción de un conjunto de aceleraciones $\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n$ , la cual hay que minimizar . Si el sistema no está sujeto a una restricción, entonces $Z=0$ y evoluciona siguiendo las ecuaciones del movimiento de Newton.
Realmente el Principio de Gauss de la mínima restricción no utiliza mínimos cuadrados ordinarios (OLS por sus siglas en inglés), ya que supondría que todas las $n$ aceleraciones tienen la misma importancia en $Z$ (todos los $n$ sumadnos realmente), sino que hace uso de mínimos cuadrados ponderados (WLS por sus siglas en inglés), cuya ponderación individual es la masa $m_i$ . El caso particular de que todas las masas fuesen iguales sí que sería OLS.
Nótese que la solución minimizante es un total de $n$ vectores tridimensionales, por lo que buscamos un total de $3n$ argumentos que minimizan la restricción $Z$ , por ende puede ser un proceso computacionalmente costoso para sistemas de muchas partículas. Si se quiere resolver numéricamente, sin hacer uso de la solución general de mínimos cuadrados, se puede usar el algortimo de bassinhopping y tomando como iterante inicial la secuencia $\displaystyle \left\{\frac{\vec{F}_i}{m_i}\right\}_{i=1}^n$ , o una pequeña perturbación cercana a ella .
Sin embargo, a veces es preferible hacer un cambio de variables, en especial en un sistema restringido, por lo que consideraremos las nuevas variables $\vec{\rho}_i = \sqrt{m_i\,}\,\vec{r}_i$ , y $\displaystyle \vec{\phi}_i =\frac{1}{\sqrt{m_i\;}}\,\vec{F}_i$ , por ende la II Ley de Newton queda ahora como $\vec{\phi} \triangleq \ddot{\vec{\rho}}$ . Las coordenadas $\{\vec{\rho}_i\}_{i=1}^n$ , posiciones de Jacobi, están relacionadas con la métrica de Jacobi, por lo que este sistema de coordenadas se suele llamar sistema de referencia de Jacobi (Evans and Morriss, $1990$). La restricción $Z\Big(\big\{\ddot{\vec{\rho}}_i\big\}_{i=1}^n\Big)$ es (ahora sí OLS): $$ Z\Big(\big\{\ddot{\vec{\rho}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) \triangleq\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \big(\ddot{\vec{\rho}}_i-\vec{\phi}_i\big)^2\geqslant 0$$ El Principio de Gauss de la mínima restricción establece que las trayectorias que realmente se siguen son las que se desvían tan poco como sea posible, en el sentido de mínimos cuadrados (ordinarios o ponderados), respecto de las trayectorias newtonianas sin-restricción. Hertz se refirió a la función $Z$ como el cuadrado de la curvatura.
Realmente el Principio de Gauss de la mínima restricción se puede generalizar: en vez de usar mínimos cuadrados, usar otro tipo de regresión con el mismo fin, hallar las trayectorias con restricción que menos se desvíen en el sentido de dicha regresión respecto de las trayectorias newtonianas sin-restricción.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
