(1193) - Oligonomios

Los oligonomios o polinomios lacunarios son polinomios con muy pocos términos. Los polinomios se definen como suma de monomios, que muchas veces los monomios se definen a posteriori como cada uno de los términos o sumandos de los polinomios (dando una definición circular). Un polinomio de grado $d$ en $n$ variables tendrá a lo sumo $\displaystyle\binom{d+n}{n}=\binom{d+n}{d}$. Es decir, si denotamos al grado $d$, un polinomio en $1$ variable tendrá a lo sumo $d+1$ términos; un polinomio en $2$ tendrá a lo sumo $\displaystyle\frac{(d+2)(d+1)}{2}$ términos, ... Un bonito resultado que se deja al lector como ejercicio. Nótese que: $$\binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{d^n}{n!} + \mathcal{O}(d^{n-1}) \qquad (d\to\infty)$$ O lo que es lo mismo $$\binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{n^d}{d!} + \mathcal{O}(n^{d-1}) \qquad (n\to\infty)$$ Los oligonomios, al tener solo unos pocos términos, son mucho más fáciles de evaluar y operar. Por ejemplo, dado un polinomio cúbico mónico, $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, si uno quiere saber sus raíces, primero hay que llevarlo a la forma de Cardano $z^3+pz+q$ donde ha desaparecido un término. Si casualmente o bien $p$, o bien $q$ son 0, hallar las raíces es mucho más fácil aún. O consideremos un polinomio cuadrático mónico, $x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$. Si es par, es decir, $a_3=a_1=0$, se convierte en un bicuadrático donde de los 5 posibles términos solo aparecen 3 y cuyas raíces se pueden obtener con la fórmula cuadrática en vez del horror que es la cuártica. Otro ejemplo son los polinomios quínticos mónicos, $x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, que se pueden llevar a la forma de Bring–Jerrard, $z^5+z+a$, donde de los 6 posibles términos solo hay 3, y de los 5 coeficientes arbitrarios, solo hay 1, lo que facilita el estudio de este tipo de polinomios. A veces los oligonomios aparecen en la suma o producto de polinomios "completos". Veamos algunos ejemplos: $$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$$ Donde de los 10 posibles términos solo aparecen 2. $$(x - y)(x^{d-1}+x^{d-2}y+\cdots+xy^{d-2}+y^{d-1}) = (x-y) \sum_{k=0}^{d-1} x^k y^{d-1-k} = x^d - y^d$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1187) - Derivada numérica. Cómo calcular la derivada con datos numéricos

Supongamos que tenemos dos variables aleatorias $X,Y$ y queremos medir cómo la variable aleatoria $Y$ varía con respecto a $X$. Tomamos $N$ puntos $\big\{(x_i,y_i)\big\}_{i=1}^N$ donde $\{x_i\}_{i=1}^N$ son muestras de la variable aleatoria $X$, así como $\{y_i\}_{i=1}^N$ de $Y$. En todo esto habría que tener en cuenta que al tomar muestras de cada variable aleatoria no solo hay una incertidumbre en la medida por las limitaciones del aparato con el que medimos, sino que también puede haber un error accidental o incluso sistemático al tomar cada medida. Sin embargo, no nos vamos a preocupar por esto ahora.

Supongamos que existe una funcion $f$ (que no necesariamente conocemos) tal que podamos escribir $Y=f(X)$, es decir, que $X,Y$ estén correlacionadas mediante $f$. La definición de derivada, se da como un límite, que se puede escribir de dos formas equivalentes: $$f^{(1)}(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$ Sin embargo, no podemos tomar ese límite de manera continua, entre otras cosas, porque no tenemos un conjunto continuo, sino simplemente un conjunto discreto de puntos. Supongamos que $f$ es suficientemente derivable en cada punto que queramos calcular su derivada. Tomando un desarrollo de Taylor en torno a $x$ y en serie de potencias de $h$ nos llega a las siguientes. $$\frac{f(x+h_2)-f(x)}{h_2} = f^{(1)}(x) + \frac{h_2}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_2}^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big({h_2}^3\big)$$ $$\frac{f(x)-f(x-h_1)}{h_1} = f^{(1)}(x) - \frac{h_1}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_1}^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big({h_1}^3\big)$$ Que son las definiciones de derivada progresiva y derivada regresiva respectivamente. Sin embargo, vemos rápidamente que en ambas fórmulas lo estamos o bien infraestimando o sobreestimando. Esto sin contar que si bien $h_1$ o $h_2$ no son lo suficientemente pequeños, o si bien las sucesivas derivadas son grandes, la aproximación es bastante mala. Consideremos esta mejora: $$\frac{f(x+h_2)-f(x-h_1)}{h_2+h_1} = f^{(1)}(x) + \frac{h_2-h_1}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_2}^2-h_2h_1+{h_1}^2}{6}f^{(3)}(x)+\cdots$$ Esto es bastante mejor, ya que como $h_1\approx h_2$, los sucesivos términos desaparacen prácticamente y se les da mucha menos importancia. Aunque no lo parezca mucho, así se ha disminuido mucho el error. De hecho, para el caso particular que $h_1=h_2:=h$, se tiene que es realmente bella. $$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f^{(1)}(x) + \frac{h^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big(h^4\big)$$ Esto se conoce como la derivada centrada, que como se puede observar tiene un error asociado mucho menos que los dos casos que inicialmente se contemplaron.

Así pues, todo se puede resumir en: $${y_i}^\prime \approx \begin{cases} \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} & i=1 \\[9pt] \displaystyle \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{x_{i+1}-x_{i-1}} & i=2,\cdots,N-1 \\[9pt] \displaystyle \frac{y_N-y_{N-1}}{x_N-x_{N-1}} & i=N \end{cases}$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1181) - La ratio plástica (número plástico). El hermano del número áureo

Todos bien conocemos el número áureo, $\varphi$ donde la definición que se suele dar es dados $a>b>0$ se define como la proporción: $$\varphi = \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \implies \varphi = \frac{1+\sqrt{5\,}}{2}$$ La ratio plástica $\rho$ se define de una mana similar: dados $a>b>c>0$ se define como la razón $$\rho = \frac{b+c}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$ Esto nos llega a la ecuación de tercer grado $x^3-x-1=0$ es bastante similar a la de la razón áurea, $x^2-x-1=0$. Como es una ecuación cúbica en función de la formula de Cardano $$\rho = \sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,}+\sqrt[3]{\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,} = \frac{2}{\sqrt{3\,}}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{3\sqrt{3\,}}{2}\right)\right) = 1\text{'}3247179572447460259609088544781\cdots$$ De forma similar, hay relaciones similares con sendos polinimios: $$\frac{x^2-x-1}{x-\varphi} = x+\frac{1}{\varphi}= x+(\varphi-1) \qquad \frac{x^3-x-1}{x-\rho} = x^2 + \rho x + \frac{1}{\rho} = x^2+\rho x + (\rho^2-1)$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1171) - La constante y secuencia de TRIBONACCI

El lector bien conoce la constante de Fibonacci, la raíz mayor que $1$ a la ecuación cuadrática $x^2=x+1$, que surge al estudiar el comportamiento asintótico de la sucesión recursiva definida como $F_0=0,F_1=1, F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$.

Consideremos ahora otro caso, otro tipo de sucesión, la dada por $T_0=0,T_1=0,T_2=1,T_{n+1}=T_n+T_{n-1}+T_{n-2}$. Mientras que en la de Fibonacci cada elemento se definía como la suma de los dos anteriores, aquí se define como la suma de los 3 anteriores. Esta secuencia es la A000073 en la OEIS. Otras secuencias también reciben el nombre de secuencia de Tribonacci según los iterantes iniciales, pero todas satisfaciendo la misma relación de recurrencia, y por ende el mismo comportamiento asintótico.

Aquí la constante de Tribonacci es la raíz mayor que $1$ a la ecuación cúbica $x^2=x^2+x+1$, que se puede reescribir como $x^4-2x^3+1=0$. Este constante es la misma independientemente de la definición de iterantes iniciales, ya que solo depende de la relación de recurrencia. En virtud de la fórmula de Cardano, este número acepta una fórmula cerrada para poder escribirse: $$x = \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33\,}\,}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33\,}\,}}{3} = \frac{1}{3}+\frac{4}{3}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{19}{8}\right)\right) \approx 1\text{'}8392867552141611325518525646533\cdots$$ Veamos algunos gráficos:

Sucesión en escala logarítimica. Nótese que tiene un comportamiento geométrico asintóticamente

Ratio de dos términos consecutivos de la sucesión de Tribonacci

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1163) - ¿Dados ideales pero no honestos?

¿Existen dos dados ideales (que cada cara sea equiprobable), con otros números en las caras con respecto al dado estándar, tales que al tirarlos conjuntamente den la misma probabilidad que al tirar dos dados ideales?

La respuesta simple y llanamente es sí. Incluso de casos no triviales como $\{0,1,2,3,4,5\}$ y $\{2,3,4,5,6,7\}$ o similares. La solución se conoce como dados de Sicherman, y la solución es única si se impone que no pueda tener ninguna cara un $0$. Dichos dados tienen por caras: $\{1,2,2,3,3,4\}$ y $\{1,3,4,5,6,8\}$.

Cómo llegar a la solución es realmente curioso al asignar a cada dado un polinomio $p(x)$ donde cada monomio tiene como grado la el número de la cara y su coeficiente es cuántas caras tienen ese número. Por ejemplo, el dado estándar es $x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6$, mientras que los de Sicherman son $x+2x^2+2x^3+x^4$ y $x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$. En general para hallar los coeficientes de la solución no-trivial uno debe imponer que ningún dado tenga una cara con $0$, es decir $p(0)=0$, y que el dado tenga $6$ caras, es decir, $p(1)=6$.

Así pues buscamos dos polinomios $P(x),Q(x)$ tal que $P(x)Q(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2=x^2(1+x)^2(1-x+x^2)^2(1+x+x^2)^2$. La condición de que $p(0)=0$ implica que $x|P(x)$ y $x|Q(x)$, mientras que las de $p(1)=6$ implica que $(1+x)(1+x+x^2)|P(x)$ y $(1+x)(1+x+x^2)|Q(x)$. Nos queda el factor $(1-x+x^2)^2$ por determinar. Si se "reparte por igual" entre ambos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, se vuelve a tener el mismo polinomio, mientras que si ponemos $P(x)=x(1+x)(1+x+x^2)=x+2x^2+2x^3+x^4$ y $Q(x)=x(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)^2=x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$.

Para más información y sobre el vídeo que inspiró en parte esta entrada, vea el lector el vídeo en este enlace


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1153) - Tirar dos dados: Distribución no uniforme a partir de uniformes

Consideremos un dado honesto o ideal, como con los que jugamos al monopoly, oca, parchís o trivial. Este dado tiene seis caras, convientemente numeradas del $1$ al $6$. Al ser ideal, y por la regla de Laplace, todos tienen la misma probabilidad de aparecer $\frac{1}{6}$.

Sin embargo, consideremos dos dados, ambos honestos, sumemos los resultados al lanzarlos. La tabla de posibles resultados es (siendo la primera fila y columna lo que sale en cada dado):
Nótese que se repiten varios resultado; algunos de varias veces y otros otros no tanto. ¿Qué es más probable sacar un 11 o un 12? Leibniz se equivocó y argumentó que ambos eran igual de probables ya que $6+6=12$ y $5+6=11$, ya que solo hay una posible suma que diese $11$. El problema de Leibniz fue considerar los dados como idénticos e indistinguibles. Sin embargo, con un dado rojo y otro azul, se ve fácilmente que hay dos opciones para obtener el $11$ o bien cinco rojo y seis azul, o bien cinco azul y seis rojo.Veamos la tabla de probabilidades

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \end{array}$$

De hecho el número $7$ es el más probable de obtener con una probabilidad de $\frac{6}{36} = 16\text{'}\bar{6}\%$, lo que significa que es tan probable como cualquier otro resultado de un dado ideal individual. Mientras tanto sacar los extremos de $1$ o bien $12$ tienen cada uno una probabilidad de $\frac{1}{36} = 2\text{'}\bar{7}\%$.

Comparemos sendas funciones de masa de probabilidad y sendas funciones de probabilidad acumuladas:

Función de masa de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Función de probabilidad acumulada de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Siempre me ha sorprendido cómo, el ejemplo del dado que se introduce desde 3º ESO como la antonomasia de caso uniforme, si se suman dos se tiene una distribución no uniforme.

Consideremos una última cosa. En vez de solo sumar, sumemos y quedémonos con el resto de dividir entre $6$, que en este caso es equivalente a restar $6$ si la suma es estrictamente mayor que $6$. Aquí volvemos a una distribución uniforme. $$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline + (\mathrm{mod }6) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$$ Este truco se puede utilizar para intentar "regularizar" la distribución de dos dados donde uno es no ideal.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.