(523) - Diferintegral. ¿Qué es una derivada? (1/3)

En el día de hoy traemos una entrega donde queremos explicar qué es una diferintegral, pero para ello hay que explicar antes que es una derivada, y qué es una integral.

Supongamos que tenemos una función que queremos evaluar cómo varía en un intervalo. Bastaría con evaluar la pendiente entre los extremos de dicho intervalo, es decir, hallar su tasa de variación media.

Sin embargo, esto solo nos daría cómo varía globalmente en dicho intervalo, es decir, si en general crece (pendiente positiva), o en general decrece (pendiente negativa). Si queremos saber qué pasa en cada punto, qué valor tendrá dicha función en el punto inmediatamente siguiente a un punto dado, hay que considerar qué pasa a la pendiente al tender el intervalo a un único punto:

Se calcula su tasa de variación instantánea, más conocida como derivada. Esta nueva función es muy especial, y está asociada a la función original (tan especial que si una función tuviese dos derivadas, esas dos derivadas fueran idénticas).

Nótese que tasa de variación instantánea es un oxímoron (para que haya una variación se necesita un tiempo donde transcurra), y además conlleva al cálculo de un límite de la forma 0÷0 .

Si se deriva la derivada, se obtiene una función llamada II-derivada de la función original. 

Si se deriva esta nueva función ahora, se obtiene la III-derivada de la función original... 

Si se deriva n veces, se obtiene la n-ésima derivada de la función original.

Nótese que la p-ésima derivada de la q-ésima derivada es la (p+q)-ésima derivada, o equivalentemente, es la q-ésima derivada de la p-ésima derivada.

La I-derivada nos da la información de los intervalos de monotonía (crecimiento, y decrecimiento) sobre la función original. 

La II-derivada nos da la información de los intervalos de curvatura (concavidad, y convexidad) sobre la función original.

¿Qué significa la n-ésima derivada con n = 0 ? Es una función que se ha derivado un total de 0 veces, es decir, una función que no se ha hecho nada, la función original.

¿Qué significa la n-ésima derivada para n = –1 entonces? Por una regla que hemos visto antes, si derivamos esta función, da la función original, es decir, es una nueva función cuya derivada es la función original. Aquí hace falta introducir la idea de integrales, que se verá en la próxima entrega.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(521) - ENEM en Valladolid

En el día de hoy traemos la entrada probablemente más esperada del año: el ENEM en Valladolid.

¿Qué es el ENEM? ENEM son las siglas de Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemáticas. Es un congreso anual sobre matemáticas, y este año es en Valladolid.

¿Cuándo y dónde es? Se celebra entre el lunes 20 y el sábado 25 de julio de 2020, en Valladolid.

¿Para quiénes está enfocado? Principalmente para estudiantes de matemáticas, o matemáticas y estadística, aunque también hay compañeros de matemáticas e informática, matemáticas y física, o ingeniería matemática.

¿Qué hay que hacer para asistir? El sábado 15 de febrero sale ya el formulario de inscripción. Hay diferentes modalidades al respecto: algunas van desde solo ir al congreso y una cena de gala final, y otras hasta pensión y comida ambas incluidas. http://enem.anem.es/inscripcion/

¿Qué me puedo esperar del ENEM? Profesores de varias partes de España darán charlas de 1 hora aproximadamente. Se intenta cubrir el mayor número de áreas en las charlas (álgebra, cálculo numérico, análisis, geometría, …). Sin embargo, no todo serán charlas, sino que también habrá más actividades, como cafés y visitas por Valladolid.

¿Por qué debería ir? Valladolid venció a otras ciudades como Barcelona para que se celebrara aquí la XXI edición del ENEM. Todo matemático ha de vivir alguna vez en su vida un ENEM.

Si tienes más dudas consulta nuestra página: http://enem.anem.es/faq/ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(509) - Tomándose demasiado en serio la animación del DVD

Todos nosotros hemos visto alguna vez la típica animación del reproductor de DVDs en el que aparece un icono rebotando por la pantalla. Además, hace tiempo que está por internet el meme en el que todo el mundo espera a que el icono golpee justo en una esquina. Este meme tiene origen en un episodio de The Office emitido en 2007, pero resurgió hace un año cuando se volvió viral el siguiente vídeo.




Ahora bien, ¿tan raro es este suceso? Primero, veamos las condiciones en las que trabajamos.

1. Esta animación siempre consiste en una figura que se mueve con un ángulo de 45º.
2. Las dimensiones de un monitor, puesto que está compuesto de píxeles, son enteras. ($a, b \in \mathbb{Z}$)
3. Por el mismo motivo, las coordenadas iniciales del icono, también son enteras. ($a_0, b_0 \in \mathbb{Z}$)

Primero, podemos tratar el icono como un punto sin pérdida de generalidad (este sería el centro de la figura, matemáticamente se representaría igual, pero reduciendo las dimensiones del monitor).

A la hora de afrontar este problema he encontrado conveniente representar los rebotes como una prolongación de la trayectoria del logo. Es decir, si hacemos revotar algo en una superficie plana quedaría así:

Así pues, podemos representar todos los rebotes a base de dividir el plano en rectángulos de la forma del monitor y hacer pasar una recta por estos rectángulos. Pero aún mejor sería, si fueran cuadrados, porque entonces podríamos usar las coordenadas cartesianas. Así que "comprimimos" los ejes para que cada rectángulo represente un espacio 1x1, de este modo, las esquinas del monitor serían los puntos con coordenadas enteras.

De este modo el problema ya parece más fácil de analizar. Tan solo tenemos que determinar si una recta pasa por algún punto de coordenadas enteras, siendo esa recta la ecuación de la trayectoria del icono, que sacamos conociendo un punto (usamos $\frac{b_0}{b}$ y $\frac{a_0}{a}$ porque recordemos que usamos las coordenadas "comprimidas" entre 0 y 1) y la pendiente ($\frac{a}{b}$ debido a esa transformación de los ejes):

$$y = \frac{b_0}{b} + \frac{a}{b} (x - \frac{a_0}{a})$$

Multiplicando por $b$ y reordenando:

$$by - ax = b_0 - a_0$$

Como $a,b,a_0,b_0 \in \mathbb{Z}$ podemos usar la identidad de Bezout para sacar los puntos con coordenadas enteras. En particular, la primera de ellas, que es la que nos interesa, la llamaremos $x_0, y_0 \in \mathbb{Z}$ que representarían el punto de esa cuadrícula imaginaria donde el CD impacta contra la esquina.
Por tanto, el icono chocará con una esquina $\Longleftrightarrow \gcd{(a, b)} \mid b_0 - a_0$

En el caso particular de que haya empezado en el $(0,0)$, podemos ver que es seguro que tarde o temprano impactará contra otra esquina.

Ahora, algunas otras cosas interesantes, ¿va a tardar mucho? o ¿contra qué esquina chocará?. Para esto, pongamos un ejemplo:

Supongamos que el monitor es un monitor estándar, 1920x1080, y que parte del $(0,0)$. Esta sería la representación. Las distintas soluciones enteras de la ecuación se han rodeado (la primera es $(9, 16)$):

Para ver cuántos rebotes da antes de chocarse contra el vértice basta con contar cuántas veces corta la recta la cuadrícula antes de la primera solución. Esto es $16 + 9 - 2 = 23$ rebotes, el choque con el vértice sería el número $24$.

De forma general, el número de rebotes será: $x_0 + y_0 - 2$.

Para ver en qué esquina chocará, tendremos en cuenta cuál es la orientación del monitor en cada cuadrado, según se haya invertido en vertical (amarillo), horizontal (rojo), ambas (naranja), o ninguna (azul).

Este patrón se repite por todo el plano, así que para saber en qué esquina golpeará, podemos tratar los puntos módulo 2.

		$x_0 (mod 2)$
		$0$	$1$
$y_0 (mod 2)$	$0$	$\swarrow$	$\searrow$
	$1$	$\nwarrow$	$\nearrow$

Además, analizando las soluciones enteras de la ecuación módulo dos, es fácil darse cuenta de que en caso de que impacte contra alguna esquina, impactará con exactamente dos esquinas distintas.

Comprobando en la tabla, podemos ver que, en el caso particular de antes, impactará en la esquina inferior derecha y después volverá a impactar con la esquina inferior izquierda, de donde salió en un principio.

Como vemos, es un problema que no tiene ninguna dificultad a la hora de analizarlo, y que solo requiere un mínimo de geometría y la identidad de Bezout.

(503) - ¿Qué es el centro de un triángulo? Centros de Kimberling

En el día de hoy traemos una entrega que da que reflexionar: ¿qué constituye el centro del triángulo?

Unos 800 centros de Kimberling

Si se toma como centro de un triángulo el centro de alguna circunferencia relevante al triángulo, los dos ejemplos más relevantes serían:
Incentro - X(1) : centro de la circunferencia inscrita al triángulo e intersección de las tres bisectrices internas al triángulo.
Circuncentro - X(3) : centro de la circunferencia circunscrita al triángulo e intersección de las tres mediatrices al triángulo.

Se podría pedir al centro de un triángulo que optimice la suma de las distancias a los vértices o a los lados. Sin embargo, esto significa que podría haber hasta cuatro centros diferentes, cada uno con sendas propiedades.

Si se toma como centro de un triángulo el que fuese el centro de masas del triángulo esto significa que podría haber varios puntos, entre ellos:
El centro de masas respecto a los vértices, (e.g. que pendan masas uniformes), es decir, centroide-X(2) , la intersección de las tres medianas de un triángulo.
El centro de masas respecto a los lados (e.g. cables uniformes), es decir, centro de Spieker - X(10) , el incentro del triángulo media

l. Se podría definir el centro de un triángulo la intersección algunas de sus cevianas. Cabe resaltar dos aún por nombrar:
Ortocentro - X(4), intersección de las alturas de un triángulo. Su triángulo ceviano asociado también es un triángulo podal.
Punto simediano de Lemoine-Grebe - X(6), intersección de las simedianas de un triángulo (la simediana la recta simétrica a la mediana respecto a la bisectriz interna, es decir la simediana es isogonal a la mediana respecto a la bisectriz interna).

Incluso se puede describir un centro que sea el punto de máximo potencial electroestático dentro del triángulo con distribución de carga homogénea por la superficie - X(5.626).

Cualquier posible centro documentado está en la ETC (Encyclopaedia of Triangle Centres) creada por Clark Kimberling (Hinsdale 1942 - ) y catalogado de la forma X(n). Dichos puntos se conocen en general por centros de Kimberling. Actualmente hay 36.758 centros de Kimberling descritos hasta el miércoles, 05 de febrero de 2020 (fecha de la publicación), todos ellos con su utilidad y con la certeza de que para ciertos casos, son el centro del triángulo "preferente".

He aquí un vídeo con los diez primeros.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Adenda del autor: Desde el día de ayer, domingo 21 de noviembre de 2021, el centro de potencial electrostático, X(5626), tiene una versión en GeoGebra en la web creada por un servidor. La web ya cuenta con 46.065 centros de Kimberling, lo que implica un crecimiento del 25,32% en 19 meses y medio.

(499) - Sangaku. Grandes problemas japoneses en pequeñas tablillas

En el día de hoy traemos una entrega de matemáticas recreativas desde Extremo Oriente: los sangaku.

Sangaku es la romanización de算額 «tablilla de cálculo, tablilla matemática». Eran tablas de madera de tamaño cuartilla que se colgaban en las pagodas japonesas. En ellas solía formularse un problema, y muchas veces venía un dibujo de geometría al lado para resolver (si el problema era esa índole).

Pongamos algunos ejemplos:

De Ufa Chusaburō, 1743: Se tienen 50 pollos y conejos. Si el número de patas es 122, ¿Cuántos pollos y conejos hay?

En Shōganji, Nagano: Se divide un capital de 60 en forma igualitaria para repartir a varios hombres como préstamo a interés compuesto por más de 3 años, después del cual el capital de vuelta con interés añadido será 105’12. La diferencia de la tasa de interés anual entre cada deudor es de 10% y la suma de la tasa de interés anual es de 60%. Halla el número de hombres a los cuales se les ha dado el préstamo.

En Hioki-jinja: Se tienen dos cubos, A y B. La suma de los volúmenes de A y B es 2.240 sun y la diferencia entre los lados de A y B es 4 sun. Halla la longitud del lado de B. [ 1 sun = 3’3 cm ]

La mayoría de estos problemas solo necesitan un muy buen entendimiento de la geometría euclídea, y a veces, usar el Teorema de Pitágoras repetidamente. Muchos se pueden resolver mediante métodos de cálculo, y análisis, pero todos ellos tienen una solución mucho más elegante, y bella que la que se nos pueda ocurrir.

Es más, en 1822 descubrieron el Teorema del sexteto de Soddy, algo que en Occidente no se descubrió hasta 1937, es decir, más de un siglo de diferencia se descubrió en un Japón prácticamente medieval antes que en el Occidente del siglo XX. 

1822

1937

Entre otras joyas que nos han dejado estas matemáticas recreativas están tres teoremas de Mikami-Kobashi, y el teorema de los círculos inscritos iguales [todos ellos se explicarán a su tiempo en la serie de este blog «Teoremas raros y curiosos»].

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(491) - Misioneros ⁊ caníbales. Cruzando el río

En el día de hoy traemos una entrega muy esperada: el dilema del barquero con misioneros y caníbales.

La premisa es simple: tres misioneros y tres caníbales están a una orilla del río y con una barca que solo puede transportar dos personas, y se tiene que pasar a todo el grupo a la otra orilla. Sin embargo, si en cualquier momento hay más caníbales que misioneros en cualquiera de las orillas, los caníbales se comerán a los misioneros, y es un fin del juego.

Este acertijo tiene variantes, como que solo los misioneros puedan remar.

Se deja al lector la resolución del dilema, y se adjunta un esquema donde están representados en el eje de abscisas los misioneros en la margen derecha del río, y en el eje de ordenadas, los caníbales en la margen derecha del río.

Para terminar, he aquí un enlace a un artículo anterior de este blog sobre otro dilema del barquero, y un vídeo en Youtube sobre ambos problemas de lógica.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(487) - LA Desigualdad triangular [o de Minkowski]. Desigualdad poligonal

En el día de hoy traemos una entrega bastante importante: una desigualdad triangular que por antonomasia se conoce como la desigualdad triangular.

En Wikipedia (en inglés) hay dos páginas de  listas de desigualdades triangulares: una para desigualdades triangulares genéricas, y otra para triángulos oblicuángulos.  Probablemente el estudiante medio de matemáticas solo conozca dos desigualdades triangulares: la pitagórica, y la que nos atañe.

La desigualdad triangular establece que: en un triángulo, la longitud de cualquier lado es estrictamente menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Demostración de Euclides de la Proposición XX, Libro I, Los Elementos

 Cuando se habla de vectores en vez de lados de un triángulo, la desigualdad se conoce como desigualdad de Minkowski, y reza: la norma de la suma de vectores es menor o igual que la suma de sendas normas. La igualdad solo se da si los vectores son colineales.

Desigualdad de Minkowski

 Esta desigualdad se utiliza mucho en cálculo y análisis, en demostraciones de continuidad uniforme, o que cierta cantidad (por ejemplo un sumatorio) está acotado, muchas veces sumando y restando un término a conveniencia.

Para terminar, cabe resaltar una generalización a modo de corolario de este resultado: en un n-gono, [la longitud de] cada lado pertenece al entorno cerrado de centro [la longitud d]el mayor de los (n-1) lados restantes, y radio la suma de [las longitudes de] los (n-2) aún restantes.

Para demostrar la generalización, se pueden considerar los sucesivos triángulos al triangular un n-gono por sus diagonales

  

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.