( 67 ) Polémica sobre la demostración lógico-matemática de la existencia de Dios.

Kurt Gödel (1906 - 1978)

     Hace unos meses, saltó la polémica sobre una demostración de la existencia de Dios realizada por los científicos Christoph Benzmüller, de la Universidad Libre de Berlín, y Bruno Woltzenlogel, de la Universidad Técnica de Viena, que probaron por métodos informáticos el teorema de Gödel, que viene a concluir que en base a los principios de la lógica debe existir un ser ontológicamente superior usando como hipótesis el llamado "Argumento Ontológico" de San Anselmo de Canterbury y que coloquialmente viene a ser:

   -Se parte de: "Dios es el ser infinatemente perfecto, entendido como el que posee infinitas cualidades".

   1-Dios es infinitamente bueno, infinatemente sabio, infinitamente bello e.t.c.

        2-Si este ser; NO posee entre sus cualidades la EXISTENCIA, debe existir un DIOS SUPERIOR a éste que admita entre sus cualidades la existencia.

         Antes de nada podéis leer las diversas noticias que han vertido los medios (desde dos prismas contrapuestos para ser lo más objetivos en un tema tan polémico):

http://www.libertaddigital.com/ciencia-tecnologia/ciencia/2013-10-30/falsa-polemica-por-la-demostracion-informatica-de-la-existencia-de-dios-1276503030/

y

http://www.acontecercristiano.net/2013/10/cientificos-demuestran-la-existencia-de.html

       A modo de resumen, el artículo en cuestión, realiza una inferencia a partir de las hipótesis del teorema de Gödel (hay varios teoremas pero eso ya para otra ocasión), y comprueban computacionalmente el método propuesto por Gödel en los años 70, si bien hacemos notar que es un mero cálculo de un ordenador. Además, la validez de la inferencia es cierta (sin mucho rigor podemos decir que es "válido lógicamente"), pero la validez de las premisas y su correspondencia con la realidad (relacion lenguaje-lógica-mundo via un isomorfismo [véase el Tractatus de L. Wittgenstein, discipulo de Russell]) no. Gödel con sus Teoremas de Incompletitud nos puso límites a las Matemáticas, y además tumbó el Programa de Hilbert (ese sueño ideal del formalismo absoluto de las Matemáticas....).
       El artículo de Benzmüller y Woltzenlogel está disponible en el "Arxiv" para quien quiera echarle un vistazo. El artículo en realidad NO demuestra la existencia de Dios, aplican resultados de "Completitud de la Lógica" y usan una lógica de las llamadas no-clásicas (la modal, pero eso ya es otra historia) y la "chispa" del asunto está en que usan un ordenador y la noticia corrió como la pólvora.

El filósofo Ludwig Wittgenstein (1889-1951).

    Acerca de la existencia de Dios, bien, Wittgenstein lo formuló en su "Tractatus Logico Philosophicus" (el titulo recuerda mucho al de Spinoza pero es ya otro tema) hace ya unos años; de Dios no podemos decir nada, no podemos afirmar nada de él (ni usando la lógica proposicional), pertenece a "lo místico", la lógica no puede demostrar la existencia de Dios, debemos callarnos, no hay ninguna certeza fuera del mundo de las Matemáticas :( .....(esto ya es otra historia que enlaza con la filosofia analítica y de las Matemáticas).

       Resalto y reitero que aquí no hemos dicho que Dios no exista o exista, sino que es una falsa polémica y si Dios existe o no eso depende de la religiosidad y fé de cada uno y siempre desde el respeto hacia la religión o no de cada uno.

       Como colofón y opinión personal, acabaremos con el famoso aforismo final del Tractatus de L. Wittgenstein: "De lo que no se puede hablar, mejor es callarse".



Es una colaboración de Adrián Esteban, a quien le agradecemos el esfuerzo.

Quien quiera conocer algo más sobre el teorema de Godel al que se hace referencia puede leer comentarios en blogs de divulgación científica como uno en Rescoldos en la trébede de antes de la noticia informática, uno en La ciencia de la mula Francis a raíz de la noticia que nos comenta Adrián, o uno en Naukas; hasta se puede leer alguna variante como la de Cuentos Cuánticos (probando la existencia de Pikachu). Incluso, el que se maneje en inglés, puede atreverse con algo más completo (en tres partes, enviamos a la primera y de ahí se puede pasar a las otras).

( 61 ) Un ejemplo on line y gratuito de cálculo simbólico

       Presentamos una página web donde se pueden hacer diversos cálculos simbólicos y matemáticos en linea. Se trata del sistema sympy.

http://www.sympygamma.com/

Logo de Sympy

Prueba a conectarte y a efectuar una integral-primitiva. Este sistema, además de calcular la integral de forma correcta, te explica pasito a pasito cómo se calcula.

Por otro lado, este software matemático puede ser descargado en tu ordenador, de forma gratuita, desde la página web

http://sympy.org/en/index.html

       No es un sistema tan poderoso como MAPLE, MATLAB ó MATHEMATICA, pero es gratis. Si bien, incluso hay sistemas gratuitos que considero mejores, por ejemplo el wxMaxima, que puede ser descargado desde

http://andrejv.github.io/wxmaxima/index.html

Es una colaboración de José Enrique Marcos  (y acorde con la austeridad de la colaboración dejaremos las exclamaciones de alegría por tener colaboradores y los alardes de gratitud para otro momento).

( 59 ) Hay problemas más difíciles

       Pues ya se acabó el plazo para entregar soluciones al problema planteado en la entrada anterior y aunque no es que hayamos estado desbordados alguna respuesta ha habido. El jurado unipersonal se ha reunido y tras una díficultosa deliberación ha entregado el premio a Diego Rojo. Aparte de felicitar al ganador, y de presentar su solución al problema vamos a hablar un poco de problemas más difíciles.
       Vamos a presentar cuatro problemas de enunciado sencillo de entender pero que son problemas abiertos en matemáticas desde hace mucho tiempo. ¿Qué tienen en común estos cuatro problemas?. Fueron presentados en una charla de un congreso internacional de matemáticas (en adelante, a los congresos internacionales de matemáticas organizados por la Unión Matemática Internacional, de los que ya hemos hablado en otras entradas de este blog, les llamaremos, como es costumbre entre matemáticos, ICM). Pero no lleguemos al final tan deprisa, concedamos valor al camino sin preocuparnos por la meta y divaguemos un poco.
       Seguramente la lista de problemas matemáticos más famosa de la historia proviene de una charla dada por el matemático alemán David Hilbert en el ICM de 1900 en París. Con el título de "Los problemas de la matemática" presentaba en ella una lista de los problemas de los que, en su opinión, debía ocuparse la matemática a lo largo del siglo XX que entonces empezaba. Veintitrés problemas que han dado muchos quebraderos de cabeza a los matemáticos y son demasiados para exponerlos aquí (digamos como anécdota que en en el tiempo que Hilbert tuvo para hablar en el ICM solo pudo presentar 10 problemas de los 23 que tenía preparados; algunos además muy técnicos para este blog, otros por contra demasiado vagos en la forma de enunciarlos).
      En un nuevo congreso de París (en este caso no fue un ICM) en el año 2000, con motivo del centenario de la conferencia de Hilbert, la  fundación Clay propone una nueva lista de problemas, los llamados problemas del milenio, con el sabroso aliciente de ofrecer un millón de dolares de premio a quien logre resolver alguno. En este caso los problemas son sólo siete y tienen un enunciado preciso, que al fin y al cabo se están jugando un dinerito con el asunto. Entre ellos sólo uno (la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta) repite de la lista de Hilbert. Otro (la conjetura de Poincaré) ha sido resuelto aunque el excéntrico caracter del autor de tal logro, el ruso Grigori Perelman, ha hecho que rechazara el premio ofrecido (así como la medalla Fields, que también se le otorgó por este resultado). En ese año 2000 y recordando a la famosa lista de Hilbert circularon otras listas de problemas interesantes; a titulo de ejemplo se puede señalar la lista de Smale, propuesta por el matemático Stephen Smale (quien, por cierto, también ha sido premiado con la medalla Fields).
       La presentación a la que nos referimos es menos conocida pero nos permite hablar de problemas cuyo planteamiento requiere menos conocimientos matemáticos. En el ICM de1912 que tuvo lugar en Cambridge, Gran Bretaña, el matemático alemán Edmund Landau mencionó cuatro problemas que ya entonces llevaban tiempo planteados y aún no habían sido resueltos. Todos ellos eran problemas de números enteros, todos estaban relacionados con los números primos y todos podían enunciarse con unos conocimientos matemáticos básicos y aún así Landau los calificó de "inabarcables en el estado actual de la ciencia". Y algo de razón tenía porque desde entonces han pasado más de cien años y, aunque se han hecho avances, todavía siguen abiertos los cuatro (de alguno se ha anunciado la solución, incluso más de una vez). Veamos el enunciado de estos cuatro problemas y algún breve comentario.

Conjetura de Goldbach: todo número par (mayor que dos) es suma de dos primos.

       El matemático Christian Goldbach le escribió una carta en 1742 a Leonhard Euler en el que le comentaba un par de observaciones que había hecho sobre números "pequeños" y que creía que eran ciertas en general, pero se confesaba incapaz de demostrarlas. Todo número impar (mayor que cinco) es suma de tres números primos y todo número par (mayor que dos) es suma de dos primos. Lo de poner el "mayor que" entre paréntesis es porque 1 no suele considerarse primo. Tampoco Euler pudo con ellas y así han pasado a la historia; bueno, en realidad ha pasado más a la historia la segunda (a veces llamada conjetura fuerte de Goldbach como admitiendo a regañadientes que hay otra) porque es fácil ver que si esta fuera cierta implicaría inmediatamente la primera (si todo par es suma de dos primos para cualquier impar n se tiene que n-3 se escribe como p+q con p y q primos y entonces n=p+q+3). Esta conjetura formaba, junto con la Hipótesis de Riemann de la que ya hemos hablado, el problema 8 de la lista de Hilbert.
       Aún cuando la conjetura fuerte sigue resistiéndose, la conjetura débil de Goldbach (obviamente, por contraposición a la fuerte, la de los impares) ha sido probada el año pasado por el matemático peruano Harald Andrés Helfgott y recientemente ha estado contando su demostración en Madrid.

Conjetura de los primos gemelos: existen infinitos primos p tales que p+2 también es primo.
       Se llaman primos gemelos a aquellos primos cuya diferencia es dos (5 y 7, 11 y 13, 41 y 43) y es muy temprana la observación de que a medida que los números crecen siguen apareciendo pares de primos gemelos, si bien cada vez con menos frecuencia. En esta página podéis encontrar pares de primos gemelos grandes de verdad. La conjetura admitida generalmente es que los pares de primos gemelos son infinitos aunque no se atribuye a nadie en concreto.

Caricatura de Legendre

Conjetura de Legendre: siempre existe un primo entre dos cuadrados sucesivos.
       Uno de los grandes matemáticos estudioso de la distribución de los números primos fue el matemático francés Adrien-Marie Legendre que también enunció un problema mucho más difícil de resolver que de enunciar. Es claro que los elementos de la sucesión de cuadrados (1,4,9,16,25,36,...) se van separando a medida que crecen pero de forma mucho más regular que lo hace la sucesión de primos. La conjetura nos dice que entre n² y (n+1)² siempre hay al menos un número primo. De hecho, la sucesión "cantidad de primos que hay entre n² y (n+1)² " empieza de la forma siguiente: 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9... así que uno podría pensar que el número de primos que hay entre n² y (n+1)² no sólo es simpre mayor que cero, sino que incluso va creciendo (vale, con algún retroceso esporádico, pero creciendo) cuando n crece.

Conjetura n²+1: existen infinitos primos en la sucesión n²+1.
       Los primeros primos que son de la forma n²+1 son:
2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, 15877, 16901, 17957, 21317, 22501, 24337, 25601, 28901, 30977, 32401, 33857, 41617, 42437, 44101, 50177 
que, como se puede ver, no son todos las números siguientes a un cuadrado, pero tampoco son tan escasos. En todo caso, la conjetura nos dice que esta sucesión no termina nunca y tenemos primos de la forma n²+1 tan grandes como queramos.

       Terminamos recordando que no estamos animando a nuestros lectores a intentar resolver estos problemas, aunque tampoco pretendemos desanimar a quien quiera pensar sobre ellos (bueno, esto último quizá un poco). Eso sí, si alguien cree encontrar una solución fácil que la repase mucho porque no parece probable que una respuesta sencilla se les haya pasado a todos los matemáticos que han dedicado muchas horas a este problema. Os pongo un enlace a una entrada de Gaussianos que habla de "demostraciones" de la conjetura de Goldbach y cierro con un chiste que se puede encontrar en esa entrada.