( 59 ) Hay problemas más difíciles

       Pues ya se acabó el plazo para entregar soluciones al problema planteado en la entrada anterior y aunque no es que hayamos estado desbordados alguna respuesta ha habido. El jurado unipersonal se ha reunido y tras una díficultosa deliberación ha entregado el premio a Diego Rojo. Aparte de felicitar al ganador, y de presentar su solución al problema vamos a hablar un poco de problemas más difíciles.
       Vamos a presentar cuatro problemas de enunciado sencillo de entender pero que son problemas abiertos en matemáticas desde hace mucho tiempo. ¿Qué tienen en común estos cuatro problemas?. Fueron presentados en una charla de un congreso internacional de matemáticas (en adelante, a los congresos internacionales de matemáticas organizados por la Unión Matemática Internacional, de los que ya hemos hablado en otras entradas de este blog, les llamaremos, como es costumbre entre matemáticos, ICM). Pero no lleguemos al final tan deprisa, concedamos valor al camino sin preocuparnos por la meta y divaguemos un poco.
       Seguramente la lista de problemas matemáticos más famosa de la historia proviene de una charla dada por el matemático alemán David Hilbert en el ICM de 1900 en París. Con el título de "Los problemas de la matemática" presentaba en ella una lista de los problemas de los que, en su opinión, debía ocuparse la matemática a lo largo del siglo XX que entonces empezaba. Veintitrés problemas que han dado muchos quebraderos de cabeza a los matemáticos y son demasiados para exponerlos aquí (digamos como anécdota que en en el tiempo que Hilbert tuvo para hablar en el ICM solo pudo presentar 10 problemas de los 23 que tenía preparados; algunos además muy técnicos para este blog, otros por contra demasiado vagos en la forma de enunciarlos).
      En un nuevo congreso de París (en este caso no fue un ICM) en el año 2000, con motivo del centenario de la conferencia de Hilbert, la  fundación Clay propone una nueva lista de problemas, los llamados problemas del milenio, con el sabroso aliciente de ofrecer un millón de dolares de premio a quien logre resolver alguno. En este caso los problemas son sólo siete y tienen un enunciado preciso, que al fin y al cabo se están jugando un dinerito con el asunto. Entre ellos sólo uno (la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta) repite de la lista de Hilbert. Otro (la conjetura de Poincaré) ha sido resuelto aunque el excéntrico caracter del autor de tal logro, el ruso Grigori Perelman, ha hecho que rechazara el premio ofrecido (así como la medalla Fields, que también se le otorgó por este resultado). En ese año 2000 y recordando a la famosa lista de Hilbert circularon otras listas de problemas interesantes; a titulo de ejemplo se puede señalar la lista de Smale, propuesta por el matemático Stephen Smale (quien, por cierto, también ha sido premiado con la medalla Fields).
       La presentación a la que nos referimos es menos conocida pero nos permite hablar de problemas cuyo planteamiento requiere menos conocimientos matemáticos. En el ICM de1912 que tuvo lugar en Cambridge, Gran Bretaña, el matemático alemán Edmund Landau mencionó cuatro problemas que ya entonces llevaban tiempo planteados y aún no habían sido resueltos. Todos ellos eran problemas de números enteros, todos estaban relacionados con los números primos y todos podían enunciarse con unos conocimientos matemáticos básicos y aún así Landau los calificó de "inabarcables en el estado actual de la ciencia". Y algo de razón tenía porque desde entonces han pasado más de cien años y, aunque se han hecho avances, todavía siguen abiertos los cuatro (de alguno se ha anunciado la solución, incluso más de una vez). Veamos el enunciado de estos cuatro problemas y algún breve comentario.

Conjetura de Goldbach: todo número par (mayor que dos) es suma de dos primos.

       El matemático Christian Goldbach le escribió una carta en 1742 a Leonhard Euler en el que le comentaba un par de observaciones que había hecho sobre números "pequeños" y que creía que eran ciertas en general, pero se confesaba incapaz de demostrarlas. Todo número impar (mayor que cinco) es suma de tres números primos y todo número par (mayor que dos) es suma de dos primos. Lo de poner el "mayor que" entre paréntesis es porque 1 no suele considerarse primo. Tampoco Euler pudo con ellas y así han pasado a la historia; bueno, en realidad ha pasado más a la historia la segunda (a veces llamada conjetura fuerte de Goldbach como admitiendo a regañadientes que hay otra) porque es fácil ver que si esta fuera cierta implicaría inmediatamente la primera (si todo par es suma de dos primos para cualquier impar n se tiene que n-3 se escribe como p+q con p y q primos y entonces n=p+q+3). Esta conjetura formaba, junto con la Hipótesis de Riemann de la que ya hemos hablado, el problema 8 de la lista de Hilbert.
       Aún cuando la conjetura fuerte sigue resistiéndose, la conjetura débil de Goldbach (obviamente, por contraposición a la fuerte, la de los impares) ha sido probada el año pasado por el matemático peruano Harald Andrés Helfgott y recientemente ha estado contando su demostración en Madrid.

Conjetura de los primos gemelos: existen infinitos primos p tales que p+2 también es primo.
       Se llaman primos gemelos a aquellos primos cuya diferencia es dos (5 y 7, 11 y 13, 41 y 43) y es muy temprana la observación de que a medida que los números crecen siguen apareciendo pares de primos gemelos, si bien cada vez con menos frecuencia. En esta página podéis encontrar pares de primos gemelos grandes de verdad. La conjetura admitida generalmente es que los pares de primos gemelos son infinitos aunque no se atribuye a nadie en concreto.

Caricatura de Legendre

Conjetura de Legendre: siempre existe un primo entre dos cuadrados sucesivos.
       Uno de los grandes matemáticos estudioso de la distribución de los números primos fue el matemático francés Adrien-Marie Legendre que también enunció un problema mucho más difícil de resolver que de enunciar. Es claro que los elementos de la sucesión de cuadrados (1,4,9,16,25,36,...) se van separando a medida que crecen pero de forma mucho más regular que lo hace la sucesión de primos. La conjetura nos dice que entre n² y (n+1)² siempre hay al menos un número primo. De hecho, la sucesión "cantidad de primos que hay entre n² y (n+1)² " empieza de la forma siguiente: 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9... así que uno podría pensar que el número de primos que hay entre n² y (n+1)² no sólo es simpre mayor que cero, sino que incluso va creciendo (vale, con algún retroceso esporádico, pero creciendo) cuando n crece.

Conjetura n²+1: existen infinitos primos en la sucesión n²+1.
       Los primeros primos que son de la forma n²+1 son:
2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, 15877, 16901, 17957, 21317, 22501, 24337, 25601, 28901, 30977, 32401, 33857, 41617, 42437, 44101, 50177 
que, como se puede ver, no son todos las números siguientes a un cuadrado, pero tampoco son tan escasos. En todo caso, la conjetura nos dice que esta sucesión no termina nunca y tenemos primos de la forma n²+1 tan grandes como queramos.

       Terminamos recordando que no estamos animando a nuestros lectores a intentar resolver estos problemas, aunque tampoco pretendemos desanimar a quien quiera pensar sobre ellos (bueno, esto último quizá un poco). Eso sí, si alguien cree encontrar una solución fácil que la repase mucho porque no parece probable que una respuesta sencilla se les haya pasado a todos los matemáticos que han dedicado muchas horas a este problema. Os pongo un enlace a una entrada de Gaussianos que habla de "demostraciones" de la conjetura de Goldbach y cierro con un chiste que se puede encontrar en esa entrada.