( 83 ) Por qué son interesantes los números

        El británico G. H. Hardy (1877-1947) fue un ilustre matemático especializado en la teoría analítica de números. A pesar de los muchos artículos publicados es famoso en el mundo matemático (en especial entre quienes no pertenecen a su campo) por dos cosas: su libro "Autojustificación de un matemático" y el descubrimiento (si es que lo podemos llamar así) de otro matemático, el indio S. A. Ramanujan (1887-1920).
          Respecto de su libro, unas reflexiones de Hardy sobre sus motivos para dedicar su vida a las matemáticas, poco podemos hacer más que recomendaros su lectura. En la red se puede encontrar en su version original, en inglés (el título original es "A mathematicien apology´s") por cortesía de la Sociedad para la Ciencia Matemática de la Universidad de Alberta. En castellano se editó en el año 1999 por la editorial Nivola (aquí podéis leer una reseña publicada en el cultural y aquí otra distinta de la que se hace eco la RSME).
       Respecto a la relación entre Hardy y Ramanujan, es una de las historias curiosas de las matemáticas que se ha contado muchas veces y que se puede encontrar en muchos sitios en internet. La resumiremos diciendo que Ramanujan, un oficinista de la india con mucho más talento matemático que pobreza de medios (y todos coinciden en que era muy pobre), aunque sin una formación matemática adecuada, envío a principios de 1913 una carta a Hardy (ya con treinta y seis años, con un prestigio reconocido en las matemáticas y con una plaza en la universidad de Cambridge) acompañada de más de una centena de resultados que había obtenido pidiéndola ayuda para publicar esos resultados.

Una de las fórmulas que acompañaban la carta que envió a Hardy

Hardy consiguió una beca para que Ramanujan se trasladara a Inglaterra y allí pudiera dedicarse a las matemáticas. Desgraciadamente, Ramanujan enfermó a los pocos años (tuberculosis) y tuvo que volver a La India donde murió. Quien quiera conocer una versión más completa puede encontrarla en esta página tal como la cuenta C.P: Snow en el prólogo al libro "Autojustificación de un matemático". En esta página (de donde hemos sacado la fórmula que está arriba) podéis encontrar una biografía de Ramanujan.

S. A. Ramanujan

        Pero aclaremos que aquí contamos todo esto sólo para situar una anécdota que sucedió entre Hardy y Ramanujan, cuando el primero iba a visitar a su amigo al hospital. Recogemos de la última página citada como cuenta esta anécdota el mismo Hardy:

"Tenía, por supuesto, una memoria extraordinaria. Podía recordar las características de los diferentes números de una manera casi misteriosa. Creo que fue Mr. Littlewood quien señaló que "cada entero positivo era uno de sus amigos personales". Recuerdo una vez que fui a verle cuando yacía enfermo en Putney. Yo había viajado en el taxi número 1729 y observé que el número me parecía más bien insípido y esperaba que no le fuera de mal agüero. "No", contestó, "es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como suma de dos cubos de dos maneras diferentes" 

1729 = 103 + 93

1729 = 123 + 13

Le pregunté, naturalmente, si conocía la respuesta al problema correspondiente para la cuarta potencia y él replicó, después de un momento de reflexión, que el ejemplo no era obvio y que el primero de tales números debía ser muy grande".

Se puede pensar que 635318657 (=133⁴+134⁴=158⁴+59⁴) tampoco es tan grande, pero eso es porque ahora estamos acostumbrados a los números que nos dan los ordenadores. En 1918 intentar calcular una propiedad de un número que andaba por encima de los 600 millones llevaba el tiempo suficiente como para decir que el número es muy grande,
       Esta anécdota ha dado lugar a los números de taxi o números taxicab (el n-ésimo número de taxi es el menor número que puede escribirse de n formas distintas como suma de dos cubos; el primer número de taxi es 2 = 1³+1³, el segundo es 1729, el tercero es 87539319 = 167³+436³ = 228³+423³ = 255³+414³ que ya es también bastante grande, acercándose a los 90 millones). Pero tranquilos, que no vamos a ponernos a escribir los números de taxis que se conocen (los tenèis en el enlace, y aunque tampoco son tantos son muy grandes) sino que vamos a insistir en la idea de que un número cogido al azar tiene bastantes probabilidades de ser un número curioso por algún motivo. Aunque muchas veces haga falta ser Ramanujan para verlo a la primera.
         Existe incluso una demostración (que dejamos como ejercicio para el lector pero que se puede encontra aquí; pista: se hace por reducción al absurdo) de que todos los números naturales son interesantes por algún motivo. Vamos a intentar confirmar eso dando una curiosa página web (desgraciadamente en inglés pero como no tiene demasiado texto y va sobre números es fácil de entender):

What's Special About This Number?

que como su nombre indica (¿Qué tiene de especial este número?, podríamos traducirlo) nos va diciendo para distintos números, ordenados de menor a mayor, (y hay muchos números, ya voy avisando) alguna curiosidad de ese número. Por ejemplo, nos dice que 144 es el mayor cuadrado que aparece en la sucesión de Fibonacci, que 242 es el menor n tal que n, n+1, n+2 y n+3 tienen el mismo número de divisores, que 367 es el mayor número cuyo cuadrado tiene dígitos estrictamente crecientes, que 512 es igual al cubo de la suma de sus dígitos, que 518 es igual a 5¹+1²+8³, que 561 es el primer número de Carmichael (esto ya es más largo de definir, es algo así como ser casi primo, quien tenga curiosidad que vaya al enlace) y, por supuesto, que 1729 es un número de taxi (y aunque no lo dice la página hay que comentar que 1729 es también un número de Carmichael, el tercero para más señas, así que es un número realmente interesante ¿o habíamos dicho ya que lo son todos?).