(337) La identidad de Euler, la ecuación más bella del mundo

La identidad de Euler, la ecuación más bella del mundo

Hoy hablaremos de la ecuación que para muchos (me incluyo en este conjunto) es la ecuación más bella que existe, pero antes de eso hablaremos de su descubridor Leonhard Euler.

Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió en San Petersburgo. Considerado uno de los matemáticos más brillantes si no el que más, descubrió junto con su mentor Bernoulli su excepcional talento con los números que le llevaría a dedicarse a las matemáticas, aportando importantísimos descubrimientos a numerosos campos como el cálculo, la teoría de grafos, óptica y astronomía entre otros.

Retrato de Euler del año 1753 dibujado por Jakob Emanuel Handmann.

Pues bien pasemos a hablar de la identidad de Euler, que es esta elegante ecuación:

Primero presentaré todos los componentes de la ecuación uno a uno:

e: irracional y además es uno de los números más importantes del análisis matemático. Sus primeras cifras son 2,7182818284590452 que además cumple lo siguiente:

i: bastante relevante en álgebra, además como bien sabrás  i=√(-1) , pues bien, este número no está dentro de los números reales ℝ por lo tanto nos encontramos con un nuevo tipo de números, los números complejos, entendemos por estos como un par ordenado de números reales, que designaremos por (x, y). La primera componente x se llama parte real de un número complejo y la segunda componente y parte imaginaria.

π: al igual que e es un número irracional que tienen como valor aproximado 3,141592653589793238 y es la relación entre la longitud y diámetro de una circunferencia en geometría euclídea además de ser el número más importante de la geometría.

1: un número fundamental en matemáticas ya que a partir de él podemos formar todos los números, además de ser clave en aritmética ya que es el elemento neutro en la multiplicación.

0: también un pilar fundamental en aritmética, además de ser el elemento neutro en la suma.

Ahora pasaremos a la parte más maravillosa, su demostración, para ello usaremos las series de Taylor antes pasaré a explicar brevemente que es un polinomio de Taylor:

Cuando en el cálculo de límites usamos L´Hôpital o algunos infinitésimos, estamos sustituyendo el comportamiento de la función cerca del punto por el de su recta tangente. Esta aproximación que usamos coincide con la función en su valor y el valor de la derivada en el punto; los polinomios de Taylor que construiremos a continuación se toman para que coincida con la función en todas las derivadas.

Llamaremos polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, y lo denotaremos por Pn,a, al polinomio:

Nota: los polinomios de Taylor en el punto a = 0, suelen denominarse polinomios de McLaurin.

Representación gráfica de la función exponencial de e y sus polinomios de Taylor

Ahora comencemos con la demostración partiendo de la expresión de la exponencial en forma de serie:

Si sustituimos x por z·i de tal manera que i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 se va repitiendo un ciclo de soluciones por lo tanto agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro obteniendo:

 

Sabiendo que sin(x) y cos(x) en las series de Taylor son de la siguiente forma:

Resulta que:

Pues bien, en esta última expresión si sustituimos z por π llegamos a:

Finalmente llevamos el -1 al lado izquierdo de la ecuación para llegar a esta bella expresión:

Pues aquí finaliza la demostración y este artículo que espero que haya sido de su agrado.

Artículo escrito por Carlos Saravia.