(397) ESTRUCTURA Y ALEATORIEDAD DE LOS NÚMEROS PRIMOS.

ESTRUCTURA Y ALEATORIEDAD DE LOS NÚMEROS PRIMOS.

Los números primos han sido uno de los temas más estudiados de las Matemáticas.
Uno de los aspectos sobre los que se busca una respuesta es la distribución de
los números primos, es decir, si siguen algún tipo de patrón o por el contrario,
tienen una distribución aleatoria.

Encontrar números primos es una tarea compleja que se intentará explicar en este artículo.

Teorema de Euclides. El número de números primos es infinito. En particular, sea k ∈ N, entonces, existe un número primo con al menos k cifras.

Sin embargo no se conoce una manera rápida y precisa de localizar números primos (en este caso, la palabra rápido hace referencia a que sea computable en un tiempo polinómico en k), en particular, no se conoce una fórmula que nos genere grandes números y nos garantice que estos sean primos.
Dado un número de k-dígitos se puede comprobar si es primo de manera <<rápida>> mediante métodos probabilísticos (Miller- Rabin 1980) o mediante métodos determinísticos (Agarwal-Kayal-Saxena 2002).

Teorema de los números primos (Hadamard, de Vallee Poussin 1896).
El número de primos menores que n ∈ N es donde o(1) tiende hacia 0 cuando . En particular, la probabilidad de que dado un número de k dígitos sea primo es de .

Por lo tanto, uno puede encontrar rápidamente un número primo de k dígitos con una probabilidad relativamente alta seleccionando de manera aleatoria. Resumiendo, no conocemos una manera determinista de encontrar números primos sin embargo, tenemos maneras <<rápidas>> de encontrar números primos de manera aleatoria.
Además, conocemos una conjetura en teoría de la complejidad P = BPP que dice (coloquialmente hablando) que cualquier problema que puede ser resuelto de manera rápida haciendo uso de métodos probabilísticos, también puede ser resuelto de manera determinista (esta conjetura está relacionada con la conjetura P vs NP).

Hemos visto que encontrar un número primo grande es complicado. Haciendo
uso del teorema fundamental de la aritmética se puede establecer la fórmula del producto de Euler


para cada s > 1. La fórmula (1) conecta el comportamiento de los números primos con el comportamiento de la función zeta de Riemann

por lo que se tiene

Uno puede deducir información de los números primos haciendo uso de la función zeta de Riemann (y en particular, sus ceros). Por ejemplo, de la divergencia de la serie armónica podemos ver que  tiende a 0 cuando s se aproxima a 1 (por la derecha, al menos). De esto y de (2) se puede recuperar
el teorema de Euclides y de hecho obtenemos el resultado más fuerte de Euler de que la suma de los recíprocos de los números primos diverge también. Uno puede hacer uso de técnicas de análisis complejo combinado con el hecho (no trivial) de que  nunca es cero para s ∈ C cuando  para establecer el teorema de los números primos.
La hipótesis de Riemann afirma que no tiene ceros cuando . Esto nos lleva a una versión mucho más fuerte del teorema de los números primos, de manera resumida dice que el número de primos menores que un entero n > 1 viene dado de manera más precisa por la fórmula

Una manera acertada de pensar en el conjunto de los números primos es que es un conjunto pseudoaleatorio. El teorema de los números primos afirma que cogiendo de manera aleatoria un entero n grande hay una probabilidad de 1/log(n) de que sea primo. Uno puede modelizar el conjunto de los números primos reemplazándolos con un conjunto aleatorio de números enteros, donde el entero n > 1 es seleccionado con independencia de la probabilidad 1/log(n); esto es llamado el modelo aleatorio de Cramer.

Considerando la conjetura débil de Goldbach, todo número entero impar mayor que 5 se puede expresar como suma de tres números primos. Si consideramos los números primos grandes cuyo último dígito es 1, las conjeturas de Goldbach pueden fallar para grandes números enteros cuyo ultimo dígito sea distinto de 3. Entonces se ve que las conjeturas pueden fallar si hay una conspiración <<lo suficientemente extraña>>. Sin embargo, uno puede formalizar fuera de una conspiración particular haciendo uso del teorema de los números primos para progresiones aritméticas, que nos dice que (además de otras cosas) hay muchos primos cuyo ultimo dígito es distinto de 1. Además, usando el método del círculo de Hardy- Littlewood, uno puede mostrar que todas las conspiraciones que posiblemente podrían hundir la conjetura de Goldbach (para enteros grandes, al menos) son en general de este tipo: un <<sesgo inesperado>> para que los primos prefieran un resto módulo 10 (o módulo en otra base, que no necesite ser un entero), sobre otro. Vinogradov eliminó cada una de estas posibles conspiraciones, y estableció lo siguiente.

Teorema de Vinogradov. Cada entero impar suficientemente grande es la suma de tres primos.

Este método ha sido usado por muchos autores. En concreto, matemáticos expertos en teoría de números como Terence Tao y Ben Green en sus artículos usan técnicas relacionadas con este método para probar que los números primos contienen arbitrariamente largas progresiones aritméticas, y en el trabajo posterior de Terence Tao, Ben Green y Tamar Ziegler para contar una amplia gama de otros patrones aditivos. (En términos generales, las técnicas conocidas pueden contar patrones aditivos que involucran dos parámetros independientes, como las progresiones aritméticas a, a + r, ..., a + (k - 1) r  de una longitud fija k).

Desafortunadamente aún queda mucho por hacer en este área que espero que tras este artículo haya resultado de su interés.

Autor: Carlos Saravia.