(443) - El puente de los burros. Teorema del triángulo Isósceles

En el día de hoy traemos una entrega algo más de primaria que de nivel universitario (personalmente creo que me lo enseñaron en 3º de primaria, 3º de EGB para los más despistados). Este teorema matemático se conoce a veces como «el puente de los burros» o  pōns asinōrum, en especial su demostración.

Estaría bien recordar algunos términos: un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales, el ápice es el vértice donde se intersecan los lados congruentes [de igual longitud], y opuesto al lado apical [lado desigual]. El ángulo desigual también se lo conoce como ángulo apical.

Triángulo isósceles donde los apicales (vértice apical, ángulo apical, y lado apical) están de color rojo oscuro.
Mientras tanto los respectivos elementos congruentes en magnitud tienen la misma decoración, y el mismo color (no misma tonalidad, que la comparten con la respectiva terna vértice-ángulo-lado).

Demostración de Euclides. 
Nota:B no se refiere al burro en sí, sino al vértice.

El sobrenombre que recibe de «el puente de los burros» es una traducción literal del latín  pōns asinōrum: pōns es el nominativo singular de pōns, pontis (III declinación) «puente» , y asinōrum es el genitivo plural de asinus, asinī (II declinación) «burro». Hay al menos dos teorías para la explicación de esta etimología: la primera propone que el diagrama de la demostración de Euclides se asemejaba a dos burros en dos extremos opuestos de un puente intentando atravesarlo. 
La otra opción establece que realmente recibe su nombre porque esta proposición es la primera en ser un poco más difícil que las anteriores, y criba a los burros del resto siendo un puente hacia proposiciones posteriores, y más difíciles.

Hoy en día en inglés pons asinorum se ha convertido en un latinajo que viene a significar un examen o prueba difícil al principio que es necesario aprobar o sobrepasar si se quiere seguir adelante.

El puente de los burros o el Teorema del triángulo isósceles sostiene que en un triángulo, dos lados tienen la misma longitud si y solo si sus respectivos ángulos opuestos tienen la misma amplitud.

Libro I-Proposición V,  ὍἜΔ.

Asimismo de este teorema salen dos corolarios muy importantes.

El primero si un triángulo es equilátero, también es equiángulo, y viceversa, por lo que es regular.

El postrimero si un triángulo es “escaleno de lados” [todos los lados de longitudes desiguales entre sí], también es “escaleno de ángulos” [todos los ángulos de amplitudes desiguales entre sí], y viceversa.

Del primer corolario se llega a la curiosidad de que, a diferencia de otros polígonos que pueden ser equiláteros no-regulares, y equiángulos no-regulares, este caso no se puede dar nunca en los triángulos.

Del postrimer corolario se llega a conclusión que para poder clasificar un triángulo según sus lados, y según sus lados no es necesario saber todos los lados, ni todos los ángulos, sino solo hace falta saber dos ángulos cualesquiera. Curiosamente, como veremos más adelante, no hace falta que los ángulos sean los dos internos.

Demostración de Proclo (412-485), con un triángulo en posición de Tales. 
En vida intentó demostrar, sin éxito, el V Postulado en función del resto.

El matemático griego Tales de Mileto fue quien descubrió este teorema, y lo demostró. O al menos fue la primera persona de quien se tiene constancia que lo hizo. Probablemente este teorema ha sido descubierto, y redescubierto muchas veces por muchas civilizaciones a lo largo de los milenios. Seguramente tanto los egipcios como los babilonios lo conocían, pero no queda constancia de ello.

Por mera curiosidad, otro sobrenombre por el que se le conoció al puente de los burros en la Edad Media fue elefuga, que según Rogelio Bacon elefuga, elefugę significaría «vuelo de la miseria, huida del lamento» del griego koinḗ ἐλεγεία-elegeía «miseria, lamento» y del latín clásico fuga, fugae «vuelo, huida». Escritores de literatura inglesa como Chaucer (autor de «The Cantebury Tales»), utilizaron varias metáforas y alusiones a elefuga.

Demostración del puente de los burros por congruencia y similitud de triángulos por la altura apical.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.