En
el día de hoy traemos una entrega muy peculiar: sobre cómo construir elementos
geométricos con menos utensilios.
Lorenzo
Mascheroni lo demostró en 1797, y en 1822 Jean Victor Poncelet demostró una
variante. Sin embargo, tuvo que pasar casi un siglo (1928) para redescubrir una
demostración de Georg Mohr de 1672.
El
teorema reza que: Cualquier construcción euclídea que se pueda hacer con
regla y compás, se puede hacer solamente con compás.
Regla
y compás son los dos utensilios que usaban los antiguos griegos. No usaban (o
no solían usar) escuadra y cartabón. Con escuadra y cartabón el hecho de trazar
paralelas y perpendiculares se vuelve mucho más fácil e intuitivo, pero también
se pueden trazar de sin ellos. ¿Cómo?
·
Para
trazar una perpendicular que corte en un punto basta con trazar la mediatriz
del segmento cuyo punto medio sea el punto donde dicho punto de corte.
·
Para
trazar una paralela a una distancia, basta con trazar la recta perpendicular a
un segmento cuya longitud sea dicha distancia. El segmento es a su vez
perpendicular a la recta original. (Nótese que en el plano euclídeo dos rectas
son paralelas entre sí si ambas son perpendiculares a una misma recta).
¿Mucho más complicado? Obviamente. Con escuadra y
cartabón sería tan fácil como apoyar cualquier cateto sobre la recta (para la
perpendicular), - apoyar cualquier lado y desplazar el utensilio con la misma
inclinación ayudándose del otro instrumento (para la paralela).
Por ejemplo, para extender un segmento con regla es trivial,
pero usando solo un compás hay que trazar varios triángulos equiláteros.
 |
| Todo hecho con compás, y sin regla alguna. |
Este teorema no es tan útil como ilustrativo y “entretenido”, aunque no por ello debe caer en el olvido.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
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