martes, 19 de mayo de 2020
(601) - Eligir la base óptima y su significado físico. Aceleración tangencial ⁊ normal
La elección de una buena base es muy importante, en especial si se quieren simplificar los cálculos. Sin embargo, hay un motivo ulterior en escoger buenas bases, y entre estas, la óptima: buscamos una con un significado físico-geométrico.
Elegir una base donde los vectores que la definen sean perpendiculares entre sí (ortogonales) es muy útil a la hora de calcular y a la de representar el resultado. Para ilustrar mejor el resultado, tomemos un vector como la velocidad ( $\vec{v}$ ), derivable al menos una vez, y expresémoslo (ya relatado en un artículo sobre qué son los vectores) como el producto de su módulo por su vector unitario, y derivemos:
\begin{align*}
\vec{v} = & \|\vec{v}\| \cdot \hat{v} \\
\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t} = & \frac{\text{d}(\|\vec{v}\| \hat{v} )}{\text{d}t} \\
\vec{a} = & \frac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v} + \|\vec{v}\| \frac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t} \\
\end{align*}En estos dos sumandos tienen dimensiones de aceleración, ergo tiene sentido darle nombres de aceleración:
· Definamos aceleración tangencial como $\vec{a}_\parallel \overset{\text{def}}{=} \dfrac{\text{d}\|\vec{v}\|}{\text{d}t}\hat{v}$ , paralela a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos rectilíneos.
· Definamos aceleración normal como $\vec{a}_\perp \overset{\text{def}}{=} \|\vec{v}\|\dfrac{\text{d}\hat{v}}{\text{d}t}$ , perpendicular a la velocidad compartiendo el punto de aplicación. Aparece, en especial, en movimientos circulares.
Nótese que la aceleración tangencial no es necesariamente la derivada temporal de la "velocidad tangencial" (de una misma deducción), y lo mismo para la normal.
Estos dos tipos de aceleración son perpendiculares entre sí donde caben resaltar las siguientes dos propiedades:
· $\displaystyle \vec{a} \triangleq \vec{a}_\parallel + \vec{a}_\perp$
· $\displaystyle \left\|\vec{a}\right\|^2 \triangleq \left\|\vec{a}_\parallel\right\|^2 + \left\|\vec{a}_\perp\right\|^2$ Teorema de Pitágoras
¿Qué significa todo esto? Hemos descompuesto un vector genérico, $\vec{a}$ , en suma de dos vectores perpendiculares entre sí, $\vec{a}_\parallel \perp \vec{a}_\perp$ , por ende sendos módulos son una terna pitagórica (al describir ellos tres en todo momento un triángulo rectángulo).
No solo eso, sino que además, ambos vectores descompuestos tienen un significado físico-geométrico entre sí, en el sistema de referencia, y además con respecto a la integral del vector suma. Esto tiene mucha relevancia porque descomponer un vector en suma de ortogonales con conciertas propiedades (que simplifican mucho calcular sendas normas) no es especialmente trivial.
Esta deducción con el vector aceleración ( $\vec{a}$ ), se puede hacer con cualquier vector genérico, constante o no, y con vectores que a lo mejor no concibamos su integral, como el vector posición, ( $\vec{r}$ ), sobre el que ya vendrá un artículo al respecto...
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
lunes, 4 de mayo de 2020
(599) - Derivada prima, o derivando respecto a dos sistemas de referencia diferentes
En el día de hoy traemos una entrada sobre qué pasa cuando derivamos una misma magnitud respecto a la misma variable, pero en dos sistemas de referencia distintos.
Supongamos que tenemos $\mathcal{S}=\{O;\mathcal{B}\}$ , un sistema de referencia [afín o no], no-inercial, centrado en $O$ , y $\mathcal{S}^\prime=\{O^\prime;\mathcal{B}^\prime\}$ , un sistema de referencia [afín o no], inercial (pues cumple la I Ley [traslacional] de Newton – Ley de la Inercia [traslacional]), centrado en $O^\prime$ (donde $\mathcal{B}\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath},\widehat{\jmath}, \widehat{k}\Big\}$ , y $\mathcal{B}^\prime\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath}^\prime,\widehat{\jmath}^\prime, \widehat{k}^\prime\Big\}$ son sendas bases).
Supongamos también que $\mathcal{S}$ rota respecto a $\mathcal{S}^\prime$ a una velocidad angular $\vec{\omega}$ .
Supongamos que $\displaystyle O\vert_{t=t_0}\equiv O^\prime\vert_{t=t_0}$ , y consideremos un punto genérico $P$ con unas coordenadas específicas respecto a la base de cada sistema de referencia, pues $P$ es el trasladado de $O$ por $\vec{r}$ , y a la vez, el trasladado de $O^\prime$ por $\vec{r}^\prime$ (en terminología de espacio afín), $P\equiv O+\vec{r} \equiv O^\prime+\vec{r}^\prime$ .
¿Qué ocurre al pasar de un instante genérico $t$ a uno $t+\text{d}t$ con $P$ ?
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}^\prime$ .
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}^\prime$ .
Nótense las relaciones fundamentales:
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición relativa en $\mathcal{S}^\prime$ )
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición absoluta ya que $P$ se mueve respecto de $\mathcal{S}$ a una velocidad $\dfrac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}$ )
$\vec{\omega}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\text{d}^\prime\vec{\theta}}{\text{d}t}$ (definición de velocidad angular de rotación de $\mathcal{S}$ respecto a $\mathcal{S}^\prime$ )
Ahora comparando cómo ha variado su posición, $\text{d}^\prime\vec{r}$ , en el intervalo $\text{d}t$ :
$$\boxed{ \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r} }$$ (Si además el sistema $\mathcal{S}$ se trasladase respecto a $\mathcal{S}^\prime$, se añade un sumando en el 2º término que fuese dicha velocidad respecto a $\mathcal{S}^\prime$ , $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{R}}{\text{d}t}$ .)
Nótese que la derivada prima $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t}$ sigue siendo una aplicación lineal, y que ambas derivadas solo se diferencian en ese término extra , $\vec{\omega}\times\vec{r}$ (otra aplicación lineal), la cual solo se anula si ambos son paralelos, $\vec{\omega}\parallel\vec{r}$ , donde está contemplado el caso que $\vec{\omega}\equiv\vec{0}$ (por lo que si un sistema de referencia no rota respecto al otro, ambas derivadas son iguales [la clásica y la prima] ).
Esta deducción con el vector $\vec{r}$ , se puede hacer para cualquier vector, y se llegaría a la misma relación.
Una curiosa relación cuanto menos, ya que la derivada prima de un vector constante, $\vec{c}$ , no es necesariamente $\vec{0}$ , sino que puede hasta ser un vector que varíe en función del tiempo, $\vec{\omega}(t)\times\vec{c}$ .
Es más, el núcleo o kernel de esta derivada prima, si definimos la matriz $\displaystyle \boldsymbol{\Omega}=\begin{pmatrix} 0 & \omega_z & -\omega_y \\ -\omega_z & 0 & \omega_x \\ \omega_y & -\omega_x & 0 \end{pmatrix}$ , viene definido por la ecuación diferencial: $\displaystyle \operatorname{Ker}\left( \frac{\text{d}^\prime}{\text{d}t}\right) = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} + \vec{\omega}\times\vec{P} = \vec{0} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} = \boldsymbol{\Omega} \vec{P} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \vec{P} = e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t} \vec{P}_0 \right\}$ con $e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t}$ , o bien $e^{\int\boldsymbol{\Omega}}$ para simplificar la notación, es la matriz exponencial de [la matriz] $\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t$ donde el elemento $i,j-$ésimo está definido por $\displaystyle {\left( \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t \right)}_{i,j} \triangleq \int_{t_0}^t {\left( \boldsymbol{\Omega} \right)}_{i,j} \;\text{d}t$ .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Supongamos que tenemos $\mathcal{S}=\{O;\mathcal{B}\}$ , un sistema de referencia [afín o no], no-inercial, centrado en $O$ , y $\mathcal{S}^\prime=\{O^\prime;\mathcal{B}^\prime\}$ , un sistema de referencia [afín o no], inercial (pues cumple la I Ley [traslacional] de Newton – Ley de la Inercia [traslacional]), centrado en $O^\prime$ (donde $\mathcal{B}\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath},\widehat{\jmath}, \widehat{k}\Big\}$ , y $\mathcal{B}^\prime\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath}^\prime,\widehat{\jmath}^\prime, \widehat{k}^\prime\Big\}$ son sendas bases).
Supongamos también que $\mathcal{S}$ rota respecto a $\mathcal{S}^\prime$ a una velocidad angular $\vec{\omega}$ .
Supongamos que $\displaystyle O\vert_{t=t_0}\equiv O^\prime\vert_{t=t_0}$ , y consideremos un punto genérico $P$ con unas coordenadas específicas respecto a la base de cada sistema de referencia, pues $P$ es el trasladado de $O$ por $\vec{r}$ , y a la vez, el trasladado de $O^\prime$ por $\vec{r}^\prime$ (en terminología de espacio afín), $P\equiv O+\vec{r} \equiv O^\prime+\vec{r}^\prime$ .
¿Qué ocurre al pasar de un instante genérico $t$ a uno $t+\text{d}t$ con $P$ ?
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}^\prime$ .
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}^\prime$ .
Nótense las relaciones fundamentales:
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición relativa en $\mathcal{S}^\prime$ )
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición absoluta ya que $P$ se mueve respecto de $\mathcal{S}$ a una velocidad $\dfrac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}$ )
$\vec{\omega}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\text{d}^\prime\vec{\theta}}{\text{d}t}$ (definición de velocidad angular de rotación de $\mathcal{S}$ respecto a $\mathcal{S}^\prime$ )
Ahora comparando cómo ha variado su posición, $\text{d}^\prime\vec{r}$ , en el intervalo $\text{d}t$ :
$$\boxed{ \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r} }$$ (Si además el sistema $\mathcal{S}$ se trasladase respecto a $\mathcal{S}^\prime$, se añade un sumando en el 2º término que fuese dicha velocidad respecto a $\mathcal{S}^\prime$ , $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{R}}{\text{d}t}$ .)
Nótese que la derivada prima $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t}$ sigue siendo una aplicación lineal, y que ambas derivadas solo se diferencian en ese término extra , $\vec{\omega}\times\vec{r}$ (otra aplicación lineal), la cual solo se anula si ambos son paralelos, $\vec{\omega}\parallel\vec{r}$ , donde está contemplado el caso que $\vec{\omega}\equiv\vec{0}$ (por lo que si un sistema de referencia no rota respecto al otro, ambas derivadas son iguales [la clásica y la prima] ).
Esta deducción con el vector $\vec{r}$ , se puede hacer para cualquier vector, y se llegaría a la misma relación.
Una curiosa relación cuanto menos, ya que la derivada prima de un vector constante, $\vec{c}$ , no es necesariamente $\vec{0}$ , sino que puede hasta ser un vector que varíe en función del tiempo, $\vec{\omega}(t)\times\vec{c}$ .
Es más, el núcleo o kernel de esta derivada prima, si definimos la matriz $\displaystyle \boldsymbol{\Omega}=\begin{pmatrix} 0 & \omega_z & -\omega_y \\ -\omega_z & 0 & \omega_x \\ \omega_y & -\omega_x & 0 \end{pmatrix}$ , viene definido por la ecuación diferencial: $\displaystyle \operatorname{Ker}\left( \frac{\text{d}^\prime}{\text{d}t}\right) = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} + \vec{\omega}\times\vec{P} = \vec{0} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} = \boldsymbol{\Omega} \vec{P} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \vec{P} = e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t} \vec{P}_0 \right\}$ con $e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t}$ , o bien $e^{\int\boldsymbol{\Omega}}$ para simplificar la notación, es la matriz exponencial de [la matriz] $\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t$ donde el elemento $i,j-$ésimo está definido por $\displaystyle {\left( \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t \right)}_{i,j} \triangleq \int_{t_0}^t {\left( \boldsymbol{\Omega} \right)}_{i,j} \;\text{d}t$ .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
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