(599) - Derivada prima, o derivando respecto a dos sistemas de referencia diferentes

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué pasa cuando derivamos una misma magnitud respecto a la misma variable, pero en dos sistemas de referencia distintos.

Supongamos que tenemos $\mathcal{S}=\{O;\mathcal{B}\}$ , un sistema de referencia [afín o no], no-inercial, centrado en $O$ , y $\mathcal{S}^\prime=\{O^\prime;\mathcal{B}^\prime\}$ , un sistema de referencia [afín o no], inercial (pues cumple la I Ley [traslacional] de Newton – Ley de la Inercia [traslacional]), centrado en $O^\prime$ (donde $\mathcal{B}\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath},\widehat{\jmath}, \widehat{k}\Big\}$ , y $\mathcal{B}^\prime\overset{\text{def}}{=}\Big\{\widehat{\imath}^\prime,\widehat{\jmath}^\prime, \widehat{k}^\prime\Big\}$ son sendas bases).
Supongamos también que $\mathcal{S}$ rota respecto a $\mathcal{S}^\prime$ a una velocidad angular $\vec{\omega}$ .

Supongamos que $\displaystyle O\vert_{t=t_0}\equiv O^\prime\vert_{t=t_0}$ , y consideremos un punto genérico $P$ con unas coordenadas específicas respecto a la base de cada sistema de referencia, pues $P$ es el trasladado de $O$ por $\vec{r}$ , y a la vez, el trasladado de $O^\prime$ por $\vec{r}^\prime$ (en terminología de espacio afín), $P\equiv O+\vec{r} \equiv O^\prime+\vec{r}^\prime$ .

¿Qué ocurre al pasar de un instante genérico $t$ a uno $t+\text{d}t$ con $P$ ?
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}^\prime$ .
· En $\mathcal{S}$ , visto desde $\mathcal{S}^\prime$ , pasa de $\vec{r}$ a $\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{r}$ rotando un ángulo $\text{d}^\prime\vec{\theta}$ .
· En $\mathcal{S}^\prime$ , visto desde $\mathcal{S}$ , pasa de $\vec{r}^\prime$ a $\vec{r}^\prime\!\!+\!\text{d}\vec{r}^\prime$ rotando un ángulo $\text{d}\vec{\theta}^\prime$ .

Nótense las relaciones fundamentales:
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición relativa en $\mathcal{S}^\prime$ )
$\text{d}^\prime\vec{r} = \text{d}\vec{r}\!+\!\text{d}^\prime\vec{\theta}\!\times\!\vec{r}$ (diferencial de la posición absoluta ya que $P$ se mueve respecto de $\mathcal{S}$ a una velocidad $\dfrac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}$ )
$\vec{\omega}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\text{d}^\prime\vec{\theta}}{\text{d}t}$ (definición de velocidad angular de rotación de $\mathcal{S}$ respecto a $\mathcal{S}^\prime$ )

Ahora comparando cómo ha variado su posición, $\text{d}^\prime\vec{r}$ , en el intervalo $\text{d}t$ :
$$\boxed{ \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}+\vec{\omega}\times\vec{r} }$$ (Si además el sistema $\mathcal{S}$ se trasladase respecto a $\mathcal{S}^\prime$, se añade un sumando en el 2º término que fuese dicha velocidad respecto a $\mathcal{S}^\prime$ , $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{R}}{\text{d}t}$ .)
Nótese que la derivada prima $\displaystyle \frac{\text{d}^\prime\vec{r}}{\text{d}t}$ sigue siendo una aplicación lineal, y que ambas derivadas solo se diferencian en ese término extra , $\vec{\omega}\times\vec{r}$ (otra aplicación lineal), la cual solo se anula si ambos son paralelos, $\vec{\omega}\parallel\vec{r}$ , donde está contemplado el caso que $\vec{\omega}\equiv\vec{0}$ (por lo que si un sistema de referencia no rota respecto al otro, ambas derivadas son iguales [la clásica y la prima] ).
Esta deducción con el vector $\vec{r}$ , se puede hacer para cualquier vector, y se llegaría a la misma relación.

Una curiosa relación cuanto menos, ya que la derivada prima de un vector constante, $\vec{c}$ , no es necesariamente $\vec{0}$ , sino que puede hasta ser un vector que varíe en función del tiempo, $\vec{\omega}(t)\times\vec{c}$ .
Es más, el núcleo o kernel de esta derivada prima, si definimos la matriz $\displaystyle \boldsymbol{\Omega}=\begin{pmatrix} 0 & \omega_z & -\omega_y \\ -\omega_z & 0 & \omega_x \\ \omega_y & -\omega_x & 0 \end{pmatrix}$ , viene definido por la ecuación diferencial: $\displaystyle \operatorname{Ker}\left( \frac{\text{d}^\prime}{\text{d}t}\right) = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} + \vec{\omega}\times\vec{P} = \vec{0} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \frac{\text{d}\vec{P}}{\text{d}t} = \boldsymbol{\Omega} \vec{P} \right\} = \left\{ \vec{P}\;\Big/\; \vec{P} = e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t} \vec{P}_0 \right\}$ con $e^{\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t}$ , o bien $e^{\int\boldsymbol{\Omega}}$ para simplificar la notación, es la matriz exponencial de [la matriz] $\displaystyle \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t$ donde el elemento $i,j-$ésimo está definido por $\displaystyle {\left( \int_{t_0}^t\boldsymbol{\Omega}\;\text{d}t \right)}_{i,j} \triangleq \int_{t_0}^t {\left( \boldsymbol{\Omega} \right)}_{i,j} \;\text{d}t$ .


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.