(739) - GIFs descargables: Integral de Lebesgue y su Teorema del Valor Medio

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales de Lebesgue.

Integrales superior e inferior de Lebesgue

Suma inferior de Lebesgue

Suma superior de Lebesgue

Recordemos que habíamos acuñado los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue como $\displaystyle E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} $ con $\displaystyle E_n \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$ (cada conjunto está en $\Omega$ , por lo que su unión también), entonces se tiene la desigualdad tipo Chebyshov:

$$\displaystyle \inf\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} {y_n}^p\, \mu(E_n)\right) \gneq \int\limits_E|f|^p\;\mathrm{d}\mu \geqslant \sup\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} {y_{n-1}}^p\, \mu(E_n) \right)$$
Integral asociada de Lebesgue

Recordemos que habíamos acuñado los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue (o conjuntos elementales asociados de Lebesgue) como $\displaystyle E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\}$ con $\displaystyle E_n \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$ (cada conjunto está en $\Omega$ , por lo que su unión también) , entonces se tiene la desigualdad tipo Chebyshov: $$\displaystyle \Bigg|\int\limits_E f\;\mathrm{d}\mu-\sum_{n\in\mathbb{N}_0}y_n\, \mu(E_n)\Bigg|\lneq \varepsilon\, \mu(E) $$

Integral asociada de Lebesgue

Integral asociada de Lebesgue - variando la secuencia de los $y_n$

Teorema del valor medio integral (formulación para la integral de Lebesgue):
¿Cómo se puede entender el teorema del valor medio?

Geométricamente es una reinterpretación de las áreas de los sucesivos rectángulos: dada una sucesión de rectángulos con sendas bases y alturas, el valor medio integral es hallar la altura de un rectángulo equivalente que tiene por base la suma de las bases y por área la suma de las áreas.

Analíticamente es hallar el valor de la función idénticamente constante (hallar el valor $\eta_y$ de la función escalonada $\eta_y\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E}(x)$ ) tal que tenga la misma integral en $E$ que la función $f(x)$ .
En las desigualdades se vuelve para las integrales superiores e inferiores de Lebesgue: $$ \inf\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}{y_n}^p\right) \gneq \frac{1}{\mu(E)}\int\limits_E|f|^p\;\mathrm{d}\mu \geqslant \sup\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}{y_{n-1}}^p \right) $$ En las desigualdades se vuelve para la integral asociada de Lebesgue: $$\Bigg|\frac{1}{\mu(E)}\int\limits_E f\;\mathrm{d}\mu-\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}y_n \Bigg|\lneq \varepsilon $$ En virtud de la propiedad de Darboux (teorema del valor intermedio), realmente de un análogo para sucesiones, podemos asegurar que el valor medio $\eta_y$ está entre dos términos sucesivos de la sucesión creciente $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}_0}$ .


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.