(919) - Integral logarítmica

Introduzcamos hoy una de las funciones muy curiosas a mi parecer. $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{li} : & \mathbb{R}^+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\[2.5ex] & x & \longmapsto & \displaystyle ―\hspace{-12pt}\int_0^x\! \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t \end{array}$$ La integral logarítmica queda relacionada con la integral exponencial, otra función íntimamente relacionada, cuya definición es $\displaystyle \operatorname{Ei}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} ―\hspace{-12pt}\int_{-\infty}^x\! \frac{e^u}{u} \;\mathrm{d}u$, y la relación se da: $$\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}\!\big(\ln(x)\big) \iff \operatorname{li}\!\big(e^x\big) = \operatorname{Ei}(x)$$ La integral logarítmica desplaza o la integral logarítmica euleriana se define como $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Li} : & \mathbb{R}^+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\[2.5ex] & x & \longmapsto & \displaystyle \int_2^x\! \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t \triangleq \operatorname{li}(x) -\operatorname{li}(2) \end{array}$$ Donde la diferencia entre una y otra viene dado por: $$\operatorname{li}(x) - \operatorname{Li}(x) \triangleq\, ―\hspace{-12pt}\int_0^2 \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t = 1\mathrm{'}04516378\cdots$$ La constante de Ramanujan–Soldner, que se define tal que: $$\mu\in\mathbb{R} / \int_0^\mu\! \frac{1}{\ln t}\;\mathrm{d}t=0$$ Es decir, es el único cero de la integral exponencial, donde $\mu=1\mathrm{'}451369\cdots$. La integral logarítmica aparece en varios contextos, entre ellos como una aproximación asintótica de la la función contadora de primos, $\pi(x)$, que indica cuántos primos hay en el intervalo $[1,x]$: $$\pi(x) \sim_\infty \operatorname{li}(x) \sim_\infty \frac{x}{\ln(x)}$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.