(701) - Función característica [indicatriz] y función simple (con GIFs descargables)

Veamos primero de dónde viene el nombre de esta función y luego lo relacionaremos con qué hace: El nombre de característica viene de carácter, del latín character, y este del griego antiguo χᾰρᾰκτήρ - khărăktḗr «sello, seña, instrumento para grabar», derivado de χᾰρᾰ́σσω - khărắssō «yo afilo, hago una incisión, marco, acuño, escribo», (por eso se escribe con la letra griega $\chi$) ya que esta función da el carácter de cierto conjunto. Veamos cómo actúa: $$\begin{array}{ cccc }
\chi\raise-.5ex\hbox{|}_A : & \Omega & \longrightarrow & \{0,1\}\subsetneq\mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in A \subseteq \Omega \\ 1 & \big| & x\in A \subseteq \Omega \end{matrix}
\end{array}$$ Es decir, la función característica necesita un conjunto $A$ sobre del que tener una referencia a la hora de evaluar: para cada valor de $x$ en un supraconjunto (conjunto universal) $\Omega$ comprueba si está o no en $A$ , donde $A\subseteq\Omega$ . Según la respuesta a esta pregunta de sí/no devuelve $1$ o $0$ respectivamente.
En contextos de probabilidad y estadística se suele llamar función indicatriz (o indicadora) ya que indica, dice, afirma o niega que un elemento $x$ esté o no en el conjunto $X$ , por lo que se suele escribir como $\mathbf{1}_X$ o $\operatorname{I}_X$ . Del hecho de que nos devuelva $\text{NO,YES}$ hace, ya fuere por su genialidad o por su utilididad, que se use mucho en informática y en lógica booleana. $$\begin{array}{ cccc }
\mathbf{1}_X \; , \;\operatorname{I}_X : & \Omega & \longrightarrow & \big\{\text{NO,YES}\big\} \\
& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} \text{NO} & \big| & x\not\in X \subseteq \Omega \\ \text{YES} & \big| & x\in X \subseteq \Omega \end{matrix}
\end{array}$$ Sin embargo, puede ser que no nos interese que la función nos devuelva los valores $\{0,1\}$ , sino que nos interesa que en un conjunto $A$ nos devuelva un valor determinado, $a$ (cuando pertenezca a dicho conjunto). Con esta premisa solo hay que reescalar la función característica, que llamamos función escalonada, pues hay un escalón en el conjunto $A$ , con una posible discontinuidad en $\operatorname{Fr}(A)$ : $$\begin{array}{ cccc }
a\chi\raise-.5ex\hbox{|}_{A} : & \Omega & \longrightarrow & \big\{0,a\big\}=a\{0,1\}\subsetneq\mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in A \subseteq \Omega \\ a & \big| &x\in A \subseteq \Omega \end{matrix}
\end{array}$$

El campo eléctrico como $E(t) = a\, \chi\raise-.5ex\hbox{|}_{A}(t)$ con $A$ unión de intervalos

Es más, se puede usar una técnica muy similar a esta para definir una sucesión de conjuntos, $\displaystyle \{A_k\}_{k=1}^n$ , donde una función $f(x)$ tome en cada instancia un valor determinado, $a_k$ : $ A_k \overset{\text{def}}{=} \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; f(x)=a_k \in \mathbb{R} \Big\} \subseteq \Omega $ , creando así una función escalonada.
Una vez ya con dichos conjuntos uno puede aproximar una función $f(x)$ mediante la suma de sendas funciones características reescaladas (escalonada): $$\begin{array}{ cccc }
\displaystyle \sum_{k=1}^n y_k \chi\raise-.5ex\hbox{|}_{E_k} : & \Omega & \longrightarrow & \{0\}\cup\big\{y_k\big/ k=1,\cdots , n \big\} \subsetneq\mathbb{R} \\
& x & \longmapsto & \displaystyle \begin{matrix} 0 & \big| & x\not\in \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -9.25pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 5pt }E_k \subseteq \Omega \\ y_k & \big| & x\in E_k \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -9.25pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 5pt }E_k \subseteq \Omega \end{matrix}
\end{array}$$ Es más, los conjuntos $\displaystyle E_k \overset{\text{def}}{=} \Big\{ x\in\Omega \,\big/\, f(x)=y_k \in \mathbb{R} \Big\} \subseteq \bigcup_{k=1}^n \hspace{ -9.25pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 5pt }E_k \subseteq \Omega $ , son disjuntos de forma que en dicha suma habrá al menos $(n-1)$ sumandos nulos, $0$ , y un posible sumando distinto de $0$ , ya que al ser disjuntos los conjuntos, si $\displaystyle x\in\bigcup_{k=1}^n \hspace{ -9.25pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 5pt }E_k$ , entonces $x$ está en un único conjunto $E_k$ . El hecho de que los conjuntos sean disjuntos nos ayuda a la hora de futuras demostraciones y definiciones, y también para poder visualizarlo. Las funciones escalonadas que se escriben como una suma de características reescaladas (escalonadas), pero de intervalos disjuntos reciben el nombre de funciones simples.

Sucesión de funciones simples

Esta es solo una breve introducción a la función característica y a cómo aproximar una función $f(x)$ como suma de funciones de características, que es de lo que tratará el próximo artículo en una mayor profundidad.




Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.