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viernes, 22 de diciembre de 2023

(937) - Notación de Landau ampliada

Veamos algunos ejemplos de notación de las llamadas O:
  • Denotamos f(x)\in{\scriptsize \mathcal{O}}\big(g(x)\big) cuando x\to a si existe M>0 para |x-a|<\delta tal que |f(x)|\lneq M g(x) o con su definición de límites, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0
  • Denotamos f(x)\in\mathcal{O}\big(g(x)\big) cuando x\to a si existe M>0 para |x-a|<\delta tal que |f(x)|\leqslant M g(x) o con su definición de límites, \displaystyle \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<\infty
  • Denotamos f(x)\in\omega\big(g(x)\big) cuando x\to a si existe M>0 para |x-a|<\delta tal que f(x)> M g(x) ocon su definición de límites, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty.
  • Denotamos f(x)\in\Omega\big(g(x)\big) cuando x\to a si existe M>0 para |x-a|<\delta tal que |f(x)|\geqslant M g(x) ocon su definición de límites, \displaystyle \limsup_{x\to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|>0, es decir, si f(x)\not\in{\scriptsize \mathcal{O}}\big(g(x)\big).
  • Denotamos f(x)\in\Omega_{+}\big(g(x)\big) cuando x\to a con su definición de límites, \displaystyle \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}>0.
  • Denotamos f(x)\in\Omega_{-}\big(g(x)\big) cuando x\to a con su definición de límites, \displaystyle \liminf_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<0.
  • Denotamos f(x)\in\Theta\big(g(x)\big) cuando x\to a si existe M_1,M_2>0 para |x-a|<\delta tal que M_1g(x)\leqslant|f(x)|\leqslant M_2g(x) o con su definición de límites, \displaystyle \liminf_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}>0 \quad \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<\infty
  • Denotamos f(x)\sim g(x) cuando x\to a si existe \varepsilon>0 para |x-a|<\delta tal que \displaystyle \left|1-\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\varepsilon o con su definición de límites, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1

  • También equiste la notación con virgulilla, por ejemplo f(x)\in\tilde{\mathcal{O}}\big(g(x)\big), que que significa que existe k\in\mathbb{N} tal que f(x)\in\mathcal{O}\Big(g(x)\ln^k\!\big(g(x)\big)\Big)


    Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

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