(641) - Ya conoces a gente que morirá el mismo día que tú. Paradoja del cumpleaños

Supongamos que entras en una aula para hacer un examen (por ejemplo). Puedo asegurarte, con probabilidad de al menos $50\text{'}73\%$ si hay siquiera $23$ personas, que dos de ellos morirán el mismo día. No es necesario saber nada más sobre las personas, pero podemos afirmar que dos morirán el mismo día del año.

Uno podría pensar que para que la probabilidad fuese del $50\%$ sería necesario que hubiese al menos tantas personas como la mitad de días del año, es decir, al menos $183$ personas. Sin embargo con $183$ personas la probabilidad es de $99\text{'}999999999999999998\cdots \%$ , o sea, la probabilidad de que no ocurriese sería de aproximadamente de $3$ entre $200 \text{ trillones } (1\text{'}53\cdot 10^{-20})$ . Recordemos que un trillón es un $1$ seguido de dieciocho $0$ .

En ningún momento estamos seleccionando una persona en particular y preguntado cuántas personas más tendría que haber en el aula para que ambos muriesen el mismo día. Ese es otro problema diferente, en el que se fija a una persona y se va comprobando con el resto. En este caso necesitaríamos $253$ personas , que es aproximadamente $-365\cdot\ln(1-0\text{'}5)$ , para tener una probabilidad del $50\text{'}02\%$ .

Estos resultados casi paradójicos muchas veces se suelen plantear en términos de cumpleaños, es decir:

¿Cuántas personas tiene que haber en una habitación para que al menos dos de ellas cumplan el mismo día con una probabilidad mínima dada?

¿Cuántas personas se necesitarían para que podamos afirmar, con una confianza dada, que otro individuo cumple el mismo día que tú? 

Esta paradoja y problema de probabilidad-estadística se puele plantear no solo en términos de cumpleaños, sino también preguntando qué probabilidad hay de que dos personas adopten a su mascota el mismo día, qué probabilidad hay que en un grupo de amigos dos se hayan sacado el carné de conducir el mismo día, dos parejas se hayan casado el mismo día, ... o como lo hemos planteado desde aquí, cuál es la probabilidad de que dos personas mueran el mismo día. 

Una aurea dicta romana decía mors certa, [sed] hōra incerta: «la muerte es cierta, [pero] la hora, incierta» (entendiendo hora como el momento, el entonces). Al plantear la paradoja de este modo podemos ver de una forma mucho más determinista algo casi azarosamente aleatorio: la hora de nuestra muerte.

He aquí algunos enlaces de cómo se suele plantear este problema explicados por MatesMike y por Derivando.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(631) - GIFs descargables: Integrales de Darboux, y de Riemann

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales de Darboux, y de Riemann. Definamos los subintervalos de la partición $I_k \overset{\text{def}}{=} [x_{k-1},x_k] \in\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .
Integral de Daboux
La suma inferior de Darboux, $s(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales maximales que están contenidos entre el eje de abscisas y la función $f$ , mientras que la suma superior de Darboux, $S(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales minimales que contienen en su interior la función $f$ . Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ . $$ \begin{matrix}\displaystyle s(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \inf_{x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k &\quad & \displaystyle S(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \sup_{ x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k \\\displaystyle \mkern2.5mu\underline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-15mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \sup_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{s(f,\mathcal{P}_n)\big\} &\quad &  \displaystyle \mkern2.5mu\overline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-20mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \inf_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{S(f,\mathcal{P}_n)\big\} \\ \end{matrix} $$

Integral de Riemann
La suma asociada de Riemann, $\sigma(f,\mathcal{P}_n,T)$ , es la suma de las áreas de los rectángulos-verticales que aproximan la función $f$ en cada subintervalo $I_k$ , es decir, en cada subintervalo $I_k$ se considera un nodo $t_k$ tal que el valor de la función $f$ en dicho nodo, $f(t_k)$, sea una buena aproximación de la altura media de la función en dicho subintervalo. Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ . $$ \begin{matrix} \displaystyle \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \quad\displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\mathcal{P}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \\ \displaystyle \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \quad\displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\dot{\mathcal{P}}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \end{matrix} $$

Integral de Riemann - variando los nodos
Aquí vemos variando el nodo $t_k$ en cada subintervalo $I_k$ (tomando cada uno con la misma definición respecto a los extremos del subintervalo). Así pues pasamos de una suma de Riemann por la izquierda ( $\lambda=0$ ) a una del punto medio ( $\lambda=0.5$ ) y finalmente a una por la derecha ( $\lambda=1$ ). $$ \lambda_k\in[0,1] \,/\, t_k \overset{\text{def}}{=} (1-\lambda_k)x_{k-1}+\lambda_k x_k\in I_k \in \mathcal{P}_n\big([a,b]\big) \\ \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) = \sum_{k=1}^n f\big((1-\lambda)x_{k-1}+\lambda x_k\big) \Delta x_k $$

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.