(641) - Ya conoces a gente que morirá el mismo día que tú. Paradoja del cumpleaños

Supongamos que entras en una aula para hacer un examen (por ejemplo). Puedo asegurarte, con probabilidad de al menos $50\text{'}73\%$ si hay siquiera $23$ personas, que dos de ellos morirán el mismo día. No es necesario saber nada más sobre las personas, pero podemos afirmar que dos morirán el mismo día del año.

Uno podría pensar que para que la probabilidad fuese del $50\%$ sería necesario que hubiese al menos tantas personas como la mitad de días del año, es decir, al menos $183$ personas. Sin embargo con $183$ personas la probabilidad es de $99\text{'}999999999999999998\cdots \%$ , o sea, la probabilidad de que no ocurriese sería de aproximadamente de $3$ entre $200 \text{ trillones } (1\text{'}53\cdot 10^{-20})$ . Recordemos que un trillón es un $1$ seguido de dieciocho $0$ .

En ningún momento estamos seleccionando una persona en particular y preguntado cuántas personas más tendría que haber en el aula para que ambos muriesen el mismo día. Ese es otro problema diferente, en el que se fija a una persona y se va comprobando con el resto. En este caso necesitaríamos $253$ personas , que es aproximadamente $-365\cdot\ln(1-0\text{'}5)$ , para tener una probabilidad del $50\text{'}02\%$ .

Estos resultados casi paradójicos muchas veces se suelen plantear en términos de cumpleaños, es decir:

¿Cuántas personas tiene que haber en una habitación para que al menos dos de ellas cumplan el mismo día con una probabilidad mínima dada?

¿Cuántas personas se necesitarían para que podamos afirmar, con una confianza dada, que otro individuo cumple el mismo día que tú? 

Esta paradoja y problema de probabilidad-estadística se puele plantear no solo en términos de cumpleaños, sino también preguntando qué probabilidad hay de que dos personas adopten a su mascota el mismo día, qué probabilidad hay que en un grupo de amigos dos se hayan sacado el carné de conducir el mismo día, dos parejas se hayan casado el mismo día, ... o como lo hemos planteado desde aquí, cuál es la probabilidad de que dos personas mueran el mismo día. 

Una aurea dicta romana decía mors certa, [sed] hōra incerta: «la muerte es cierta, [pero] la hora, incierta» (entendiendo hora como el momento, el entonces). Al plantear la paradoja de este modo podemos ver de una forma mucho más determinista algo casi azarosamente aleatorio: la hora de nuestra muerte.

He aquí algunos enlaces de cómo se suele plantear este problema explicados por MatesMike y por Derivando.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.