(643) - Gauss no sabía integrar. ¿O sí?

Lo primero que uno pensaría ante esta premisa es: ¿qué tontería es esto? ¿Cómo es posible que Princeps Mathematicorum (en latín), der Fürst der Mathematiker (en alemán), es decir, el Príncipe de las Matemáticas no supiera integrar? ¿No tiene acaso Gauss una familia de integrales llamadas en su honor? Así es. Es más en $1809$, en su obra Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del Movimiento de los Cuerpos Celestes que giran alrededor del sol en secciones cónicas), no solo describe el movimiento planetario e introduce la idea de mínimos cuadrados, sino que además supone que los errores o desviaciones que tienen estos parámetros siguen una distribución normal o gaussiana, y para ello calculó esta familia de integrales:
$$ \begin{matrix} \displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha (x+\beta)^2}\;\text{d}x & = & \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}\;} \\
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\;\text{d}x & = & \displaystyle e^{\frac{b^2}{4a\;}+c}\sqrt{\frac{\pi}{a}\;} \end{matrix} \implies \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}x^2}\;\text{d}x = \sqrt{2\pi\;} $$
Entonces, ¿por qué la proclama original? La integral (aunque se pueda encontrar algún caso de proto-integral desde la Antigüedad Clásica) tiene sus orígenes en la segunda mitad del $\text{siglo XVII}$ con el alemán Leibniz y el inglés Newton, al desarrollarse el cálculo "clásico". Muchos matemáticos posteriores usaron la integral en sus trabajos como Euler o Lagrange, por mencionar unos pocos.

Sin embargo, hubo que esperar hasta mediados del $\text{siglo XIX}$ , casi dos siglos después, para obtener una definición concisa y rigurosa de la integral y de la integración. Bernhard Riemann fue quien dio dicha definición casi "accidentalmente" en $1854$ . Uso accidental aquí con significado del platonismo: no parte de su esencia, no-intrínseco, es decir, del mismo modo que sucedió así, podría no haber ocurrido, y no habría sido muy diferente. Riemann propuso su modelo en el capítulo «Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit» (Sobre el concepto de una integral definida y [sobre] el alcance de su validez) de su artículo «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (Sobre la posibilidad de representación de una función a través de una serie trigonométrica). Si a Riemann se le hubiese ocurrido otro procedimiento, u otra demostración a la hora de abordar el problema, puede que no hubiésemos tenido la definición de la integral. Tal importancia tiene esta definición que si Riemann no hubiese hecho ningún descubrimiento matemático más, todavía sería un matemático con fama.

Riemann presentó este artículo en $1854$ , un año antes de que su mentor, Gauss, muriese ( $1855$ ). Ambos hechos ocurrieron en la ciudad de Gotinga. El artículo era un documento interno a la Universidad de Gotinga. La finalidad de este artículo era ser su Habilitationsschrift (disertación de habilitación) para poder convertirse en profesor. Dicho artículo se publicó póstumamente en $1868$ (Riemann murió en $1866$ ) en la recién creada revista divulgativa Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Procedimientos de la Real Sociedad de las Ciencias de Gotinga).

La premisa que expongo es que Gauss nació, vivió y trabajó sin conocer una teoría de integración concisa, rigurosa, y más o menos completa. Esto no significa que no supiese integrar del todo, ni que no supiera qué es una integral (Gauss daría cien vueltas a muchos matemáticos y a otros, mil), sino que desde un punto de vista moderno, su formación y algún trabajo suyo ahora mismo parecerían incompletos, o parcialmente erróneos dadas las ampliaciones y mejoras que han ido surgiendo a lo largo de los años. Por ejemplo, cualquier estudiante de ciencias en bachillerato acaba con una formación matemática y física a veces superior a Newton (padre del cálculo y de la mecánica clásica) en especial en cálculo de derivadas por ejemplo. Esto no significa que el bachiller medio sea mejor matemático que Newton, sino que al crecer con diferentes conocimientos a sendas disposiciones, se desarrollan de diferentes formas.

Asimismo uno podría exponer la misma premisa con Riemann, ya que su integral flaquea con ciertos tipos de funciones que la integral de Lebesgue ( $1904$ ) mejora. Empero la integral de Lebesgue es mejorable para procesos estocásticos con la integral de Страто́нович [Stratónovich], o con la de 伊藤 (Itô) de $1944$ . Además este modelo de integración se puede mejorar para funciones que oscilan infinitamente en torno a un punto como Henstock-Kurzweil ( $1912$ ) , o para funciones cuyo diferencial sea en sí una función, la integral de Stieltjes de $ 1894 $ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.