(719) - Integral Inferior de Lebesgue. Mejor que Darboux (con GIFs descargables) (1/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales inferiores de Darboux, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos de la partición $I_k \overset{\text{def}}{=} [x_{k-1},x_k] \in\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral inferior de Daboux
La suma inferior de Darboux, $s(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales maximales que están contenidos entre el eje de abscisas y la función $f$ . Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ .$$ \begin{matrix}\displaystyle s(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \inf_{x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k &\quad &\displaystyle 0 \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \sum_{n=1} y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) =  \phi_n(x) \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \big|f(x)\big| \\ \displaystyle \mkern2.5mu\underline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-15mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \sup_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{s(f,\mathcal{P}_n)\big\} &\quad &  \displaystyle \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\}\ \end{matrix} $$

Sumas superiores e inferiores de Darboux

Integral inferior de Lebesgue 

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue y centrémonos en la segunda desigualdad: $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$ Es decir, $$ \big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir $y_{n-1}$ como la función escalonada $ y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que vale exactamente $y_{n-1}$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$ \big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \implies \int\limits_{E_n} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \geqslant \int\limits_{E_n} \! \ y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq y_{n-1}\,\mu(E_n)$$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$ \big|f(x)\big|\geqslant \sum_{n=1} y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \overset{\text{def}}{=} \phi_n(x) \implies \int\limits_{E} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \geqslant \int\limits_{E} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n)$$ ¿Hemos terminado? Casi. Hemos encontrado una cota inferior, pero no la óptima, esa es su supremo, $\displaystyle \sup\Bigg\{\sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\}$ , que se puede hallar al ir refinando los conjuntos elementales. A este valor lo acuño como suma o integral inferior de Lebesgue $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\} $$

Suma inferior de Lebesgue

Con estos mismos conjuntos se puede hallar fácilmente la integral en espacios $L^p$ de $|f|^p$ donde es: $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big|^p \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! {\phi_n}^p(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} {y_{n-1}}^p\,\mu(E_n) \Bigg\} $$



Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.