(751) - Racionales en trigonometría de racionales. Teorema de Niven-Hadwiger

La pregunta de hoy es bien simple: ¿Qué ángulos que son un número racional de vueltas tienen como seno, coseno o tangente también un número racional?Este resultado se concoce como Teorema de Niven ($1915-1999$) de $1956$, pero el matemático Hadwiger ($1908-1981$) ya hizo una demostración en $1948$.
Una primera idea descartable es argumentando como las funciones trigonométricas se pueden expresar como series, pero la serie de racionales no es necesariamente racional ( el ejemplo más claro $\displaystyle \frac{1}{n!}\in\mathbb{Q}$ pero $\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \not\in\mathbb{Q}$ ).

Otra idea sería considerar los polinomios de Chebyshov de I especie [Чебышёв - Čebyšëv], polinomios de coeficientes enteros, $T_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $T_N\big(\cos(\theta)\big)=\cos(N\theta)$ . Sin embargo, este método solo nos dice que $\cos(2\pi\theta)\in\mathbb{Q} \implies \cos(2\pi N\theta)\in\mathbb{Q}$ , es decir, si el coseno es racional, el coseno de múltiplos de ángulo también lo es. No podemos decir lo mismo de los de II especie $U_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $\sin(\theta)U_{N-1}\big(\cos(\theta)\big)=\sin(N\theta)$ .

La idea es buscar los conjuntos maximales $\varnothing\subset Q_{0,r},Q_{1,r}\subset\mathbb{Q}$ donde $Q_{1,r}\overset{\text{def}}{=}\operatorname{r}(2\pi Q_{0,r})$ para alguna razón trigonométrica $\operatorname{r}$ , es decir, hallar los ángulos racionales, $\varphi\in\mathbb{Q}$ , tales que alguna razón trigonométrica es racional, $\operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ .
Si $\varphi\in Q_{0,r}\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es "racional de Niven", su razón trigonométrica también es racional.
Si $\varphi\in(\mathbb{Q}\setminus Q_{0,r})\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$, es decir que si el ángulo $\varphi$ es racional pero no "[racional] de Niven", su razón trigonométrica es estrictamente irracional.
Si $\varphi\in (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subsetneq\mathbb{R} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in \big((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\bigcup \hspace{ -7pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} (\mathbb{Q}\setminus Q_{1,r})\big) \triangleq (\mathbb{R}\setminus Q_{1,r}) $ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es irracional, su razón trigonométrica también es o bien irracional o bien racional.

Si para algún ángulo el seno o coseno es $\displaystyle \frac{p}{q}$ donde $0\leqslant |p| \leqslant |q| $ y $p,q\in\mathbb{Z}$ , entonces el otro es $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{q^2-p^2\;}}{q}$ . La pregunta es entonces $\sqrt{q^2-p^2\;}\overset{\text{?}}{\in}\mathbb{N}$ . Esta pregunta es equivalente a preguntar si existe una terna pitagórica con hipotenusa $|q|$ y un cateto $|p|$ . Al final resulta ser que los únicos que seno y coseno son racionales son las soluciones triviales.

Veamos los pocos valores que satisfacen la relación en $\displaystyle 0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$ (en otros cuadrantes solo hay que tener en cuenta las relaciones de los demás cuadrantes con el primero):

Para el seno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,\frac{1}{2},1$ .

Para el coseno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,\frac{1}{2},1$ .

Para la tangente se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{4}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,1$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(743) - Resolver ecuaciones diferenciales numéricamente en Excel

A finales de septiembre estaba ayudando a un novato de física con un ejercicio de tiro parabólico, pero con amortiguamiento por la fricción con el aire. Como él no sabía programar nada, le hice una pequeña simulación en Excel (sí Excel, ¿qué pasa?) para poder cambiar los parámetros al instante. Quiero exponer aquí cómo lo hice. Aviso que este método no es muy bueno numéricamente, en particular porque Excel no está pensado para resolver ecuaciones diferenciales. Esto es rápido, para tener una idea preliminar, no para tener exactitud. Para ver cómo funciona, hay que repasar algunos conceptos:
Recordemos la definición de derivada [analítica]: $$ f^{(1)}(x) \overset{\text{def}}{=} \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Si en vez de tomar el límite, se toma un $h$ suficientemente pequeño, podemos calcular lo que se llama en computación derivada numérica (una aproximación numérica de la derivada analítica). Esto nos permite aproximar la función $f$ en un punto $x+h$ si sabemos $f(x)$ y $f^{(1)}(x)$ : $$ f^{(1)}(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \implies f(x+h) \approx f(x) + f^{(1)}(x)\cdot h$$ Es decir, podemos aproximar (casi) cualquier función $f(t)$ por una recta tangente en $t=a$ , $T_1\big(f,a\big)(t)$ , con el error que decrece hasta hacerse nulo en $t=a$ . $$ f(t) = T_1\big(f,a\big)(t)+{\scriptstyle \mathcal{ O } }\big( (t-a)^1\big) \qquad T_1\big(f,a\big)(t) = f(a)+ f^{(1)}(a)\cdot (t-a)$$ En la resolución numérica se suele discretizar la función (aunque no sea discreta) en intervalos de longitud pequeña, $[x_{n-1},x_n]$ . Vamos a tomar la longitud de cada uno de estos intervalo igual (nodos equiespaciados) de longitud $h$ . Cuanto más cercano a $0$ sea $h$ , mejor la aproximación, pero más cálculos son necesarios. Llamemos $y_n$ a la función $f(x)$ evaluada en el $n-$ésimo nodo $x_n$ , $f(x_n)$ , y denotemos por ${y_n}^{(k)}$ a la $k-$ésima derivada de la función $f(x)$ evaluada en el $n-$ésimo nodo $x_n$ , $f^{(k)}(x_n)$ . Es decir: $$ \begin{matrix} h & = & x_n-x_{n-1} & = & \Delta x_n \\ y_n & = & f(x_n) \\ {y_n}^{(k)} & = & f^{(k)}(x_n) & & k\in\mathbb{N} \end{matrix} $$ Es decir, cuando solo se tiene la primera derivada: $$ y_{n+1} = y_n + {y_n}^{(1)} h $$ Si tenemos una función que conocemos ambas derivadas (como por ejemplo la posición $r$ con su velocidad inicial $v_0$ y su aceleración $a$ que $\displaystyle r = r_0 + v_0t+\frac{a}{2}t^2 $ ) se tiene que: $$y_{n+1} = y_n +{y_n}^{(1)} h + \frac{{y_n}^{(2)}}{2}h^2 = y_n + h\left( {y_n}^{(1)} + \frac{{y_n}^{(2)}}{2}h\right) $$ Al final lo que estamos haciendo es aproximar las sucesivas derivadas $\displaystyle \frac{\text{d}^{(n)}y}{\text{d}x^{(n)}}$ como diferencia finitas $\displaystyle \frac{\Delta^{[n]} y}{\Delta x^n}$ , hacer una expansión de Taylor localmente en cada punto, $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\frac{\text{d}^{(n)}y}{\text{d}x^{(n)}}\Delta x^n$ , y parar tras $(N+1)$ sumandos cuando consideramos que nuestro error $\varepsilon_N$ es suficientemente pequeño (disminuye cuanto menor sea $\Delta x = h$ ): $$ \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \bumpeq \frac{\Delta y}{\Delta x} \implies \frac{\text{d}^{(n)}y}{\text{d}x^{(n)}} \bumpeq \frac{\Delta^{[n]} y}{\Delta x^n} \implies \frac{1}{n!}\Delta^{[n]} y \bumpeq \frac{1}{n!}\frac{\text{d}^{(n)}y}{\text{d}x^{(n)}}\Delta x^n \\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\Delta^{[n]}y = \sum_{k=0}^N \frac{1}{k!}\Delta^{[k]}y +\varepsilon_N$$ Por ejemplo para resolver el péndulo simple, de ecuación $\ddot{\theta} + {\omega_0}^2 \sin(\theta)=0 \implies \ddot{\theta} =-{\omega_0}^2 \sin(\theta) $ . En la primera columna ponemos nuestra variable indepeniente, $t$ , con $A1=0$ y $A2=A1+h$ donde $h$ lo hemos definido antes y es un valor fijo. Para que sea más útil, como Excel permite hacer gráficas de $32.000$ puntos, arrastramos $A2$ hasta $A32000$ . Necesitamos una condiciones iniciales de posición y velocidad que esas las ponemos en $B1$ y $C1$ respectivamente. Repitiendo la notación de antes se tiene que (con $Bn=y_n$ , $Cn={y_n}^{(1)}$ , $Dn={y_n}^{(2)}$ ) : $$ \begin{matrix} {y_n}^{(2)} = -{\omega_0}^2 \sin(y_n) \\ {y_{n+1}}^{(1)} = {y_n}^{(1)} + {y_n}^{(2)}h \\ \displaystyle y_{n+1} = y_n + h\Big( {y_n}^{(1)} + {y_n}^{(2)} \frac{h}{2}\Big) \\ \end{matrix}$$ Este método, aunque efectivo, es poco práctico. Se podría haber usado la integración de Verlet, que es mucho más preciso y no hace falta calcular la primera derivada en todo punto: $$ \begin{matrix} \displaystyle y_1 = y_0+{y_n}^{(1)}h+\frac{{y_n}^{(2)}}{2}h^2 \\ y_{n+1} = 2y_n-y_{n-1}+{y_n}^{(2)}h^2 \qquad n\geqslant 1\\ \end{matrix}$$

Péndulo simple, $\ddot{\theta} + {\omega_0}^2 \sin(\theta)=0$ , y péndulo amortiguado $\ddot{\theta} + \gamma \dot{\theta} + {\omega_0}^2 \sin(\theta)=0$ con mismas condiciones iniciales $\theta_0=2,6$ y $\dot{\theta}_0=0,5$ y con $\gamma=0,25$

Este método es útil a la hora de dar propiedades cualitativas, y no tanto cuantitativas, de la solución y para entender qué pasa con la misma (en el ejemplo del péndulo amortiguado que cuanto mayor sea $\gamma$ , más deprisa tiende a ser idénticamente nula).

  Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.