(857) - Demostración por contradicción. Reducción al absurdo

Esto es meramente una adenda extra a la última entrada. Una reducción por absurdo es un tipo de demostrar el contrarecíproco. Por ejemplo supongamos que tenemos que demostrar $p\to q$ . Partimos de $p$ y no sabemos, hasta que no lo demostremos, nada sobre $q$ , ni siquiera si es verdad o falso, así pues pues se parte de la hiótesis $p$ y además se supone algo que niega lo que queremos demostrar, $\neg q$ y tras razonamientos lógicos se llega a que $\neg q \to \neg p$ . Sin embargo, a pesar de que no hemos tenido ningun error en la lógica, hemos visto que $\neg p$ , que es absurdo (pues algo no puede ser algo y no serlo a la ver, es decir, $p$ y $\neq p$).

Uno de los ejemplos má clásicos es dmostrar que $\sqrt{2}$ es un número irracional. Se empieza suponiendo que no lo es, sino que se puede escribir de la forma $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ , para algunos $a,b\in\mathbb{N}$ y los tomamos de tal forma que sean primos entre sí. De lo anterior se deduce que $a^2=2b^2$ , pero si $a^2$ es un cuadrado perfecto y un número par, necesariamente es uno de la lista $4,16,36,64,100,\cdots$ , lo que implica que $a$ también era par y lo podemos escribir de la forma $a=2p$ ,por lo que $4p^2=2b^2 \implies 2p^2=b^2$ y vemos a su vez que $b^2$ es a su vez par y un cuadrado perfecto, repitiendo el proceso indefinidamente (lo que implicaría que tanto $a$ como $b$ son productos de una potencia de $2$ ). Sin embargo, habíamos dicho que eran coprimos, lo que contradice nuestra hipótesis, resultando entonces en que $\sqrt{2}$ es un número irracional.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(853) - El truco para duplicar los resultados. Contrarrecíproco

En cualquier curso introductorio de lógica se introduce la tabla de la verdad y los diferentes modus. En el día de hoy, hablaremos del modus tollendo tollens, es decir, el modo que al negar, niega.

La idea es que si tenemos una proposición lógica, $p \to q$ , y se niega la consecuencia (tesis), $\neg q$ , entonces implica que se tiene la negación de la hipótesis, $\neg p$ , es decir: $$\frac{p \to q, \neg q}{\therefore \neg p}$$ Otra forma de escribirlo es: $$\big((p \to q) \land \neg q\big) \to \neg p$$
Un ejemplo para ver esto es con el aserto si llueve, el suelo se moja, que es equivalente a decir si el suelo no está mojado, no ha llovido. Nótese que si decir el suelo está mojado, entonces ha llovido es completamente erróneo ya que la premisa puede ser debida a otro suceso (han regado por ejemplo).

La idea es que para cada proposición o enunciado matemático del tipo $p\to q$ , recordemos que es equivalente a decir $(\lnot q) \to (\lnot p)$ , lo que a la hora de hacer demostraciones es muy útil, ya que muchos como estudiantes a veces nos hemos olvidado de ello. Un ejemplo de un teorema cuya demostración solo se conoce por contrarrecíproco es el Teorema de Steiner-Lehmus que establece que un triángulo tiene dos bisectrices de la misma longitud si y solo si es isósceles.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(839) - El mejor físico-matemático medieval. Nicolás de Oresme

Si hay un escolástico que me ha captado la atención en los últimos meses es Nicole d'Oresme (nació c.$1320-1325$ en Fleury-sur-Orne, Normandía y murió el $11$ de julio de $1382$ en Lisieux, Normandía). Veamos qué hizo este clero del siglo XIV.

Consideremos cuánto vale la suma de la serie armónica, es decir, la suma de infinitos términos de los inversos de los números naturales ($1,2,3,4,5,\cdots$). Él empieza acotando inferiormente cada sumando por el inverso de una potencia de $2$, aquella que sea la mejor cota ($1,2,4,8,16,32,64,\cdots$) $$ \begin{matrix} 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{3} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{5} & + & \displaystyle\frac{1}{6} & + & \displaystyle\frac{1}{7} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{9} & + & \cdots \\= & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \\ 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{16} & + & \cdots \end{matrix}$$ De aquí se ve cómo, sumando ciertos términos de la cota, aparecen infinitas veces el sumando $\frac{1}{2}$ . En particular se tiene: $$ \sum_{n=1}^{2^N}\frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2} \implies \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} > 1 + \frac{\log_2k}{2}$$ Por lo que dedujo que la serie armónica divergía. Es más, siglos después se demostró que la serie armónica tenía el mismo crecimiento que el logaritmo neperiano: $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim_\infty \ln(n) + \gamma$$ Donde $\displaystyle \gamma = \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right) \;\mathrm{d}x$ es la constante de Euler-Mascheroni.

También se le atribuye la demostración del Teorema de la velocidad media, cuyo redescubrimiento y popularización se debe a Galileo. El teorema dice: un objeto en un movimiento uniformemente acelerado recorre en un intervalo el mismo espacio que recorrería un objeto con velocidad uniforme, cuya velocidad es la velocidad media del primero. Pongamos esto con notación algebraica con dos ecuaciones que nos son muy conocidas $$ d = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \qquad d=\bar{v}t$$ Donde $d$ es el espacio recorrido, $v_0$ es la velocidad inicial en $t=0$, $t$ es el tiempo, $a$ es la aceleración constante, $\bar{v}$ es la velocidad media del móvil y $v=v(t)$ es la velocidad final. Usando las siguientes identidades es trivial probarlo algebraicamente: $$ \bar{v}=\frac{v_0+v}{2} \qquad v=v_0+at $$ Sin embargo, Nicolas de Oresme lo hizo de una manera puramente geométrica y con razonamientos, ya que se tardaría siglos en desarrollar el álgebra para escribirlo.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.