(857) - Demostración por contradicción. Reducción al absurdo

Esto es meramente una adenda extra a la última entrada. Una reducción por absurdo es un tipo de demostrar el contrarecíproco. Por ejemplo supongamos que tenemos que demostrar $p\to q$ . Partimos de $p$ y no sabemos, hasta que no lo demostremos, nada sobre $q$ , ni siquiera si es verdad o falso, así pues pues se parte de la hiótesis $p$ y además se supone algo que niega lo que queremos demostrar, $\neg q$ y tras razonamientos lógicos se llega a que $\neg q \to \neg p$ . Sin embargo, a pesar de que no hemos tenido ningun error en la lógica, hemos visto que $\neg p$ , que es absurdo (pues algo no puede ser algo y no serlo a la ver, es decir, $p$ y $\neq p$).

Uno de los ejemplos má clásicos es dmostrar que $\sqrt{2}$ es un número irracional. Se empieza suponiendo que no lo es, sino que se puede escribir de la forma $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ , para algunos $a,b\in\mathbb{N}$ y los tomamos de tal forma que sean primos entre sí. De lo anterior se deduce que $a^2=2b^2$ , pero si $a^2$ es un cuadrado perfecto y un número par, necesariamente es uno de la lista $4,16,36,64,100,\cdots$ , lo que implica que $a$ también era par y lo podemos escribir de la forma $a=2p$ ,por lo que $4p^2=2b^2 \implies 2p^2=b^2$ y vemos a su vez que $b^2$ es a su vez par y un cuadrado perfecto, repitiendo el proceso indefinidamente (lo que implicaría que tanto $a$ como $b$ son productos de una potencia de $2$ ). Sin embargo, habíamos dicho que eran coprimos, lo que contradice nuestra hipótesis, resultando entonces en que $\sqrt{2}$ es un número irracional.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.