La última vez veíamos la identidad de Euler con cuaterniones. Veámosla hoy con funciones integrales. Primero recordemos cómo es en su forma usual.
$$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$
Tomemos esta versión para poder trabajar
$$ e^{-\mathrm{í}t}=\cos t - \mathrm{í}\sin t $$
Dividamos ahora entre el argumento e integremos en el intervalo $[z,\infty)$ tal que:
$$ \int_z^\infty \frac{e^{\mathrm{í}t}}{\mathrm{í}t} \mathrm{í}\;\mathrm{d}t = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$
Ahora haciendo un pequeño cambio de variable:
$$ \int_{\mathrm{í}z}^\infty \frac{e^{-s}}{s} \;\mathrm{d}s = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$
Por lo que se tiene la Identidad de Euler:
$$ \operatorname{E}_1(\mathrm{í}z) = -\operatorname{ci}(z) + \mathrm{í} \operatorname{si}(z) $$
Donde se tienen que:
$$ \operatorname{E}_1(z)\overset{\mathrm{def}}{=} \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{ci}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{si}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t$$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
