(877) - La Identidad de Euler con funciones integrales

La última vez veíamos la identidad de Euler con cuaterniones. Veámosla hoy con funciones integrales. Primero recordemos cómo es en su forma usual. $$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$ Tomemos esta versión para poder trabajar $$ e^{-\mathrm{í}t}=\cos t - \mathrm{í}\sin t $$ Dividamos ahora entre el argumento e integremos en el intervalo $[z,\infty)$ tal que: $$ \int_z^\infty \frac{e^{\mathrm{í}t}}{\mathrm{í}t} \mathrm{í}\;\mathrm{d}t = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$ Ahora haciendo un pequeño cambio de variable: $$ \int_{\mathrm{í}z}^\infty \frac{e^{-s}}{s} \;\mathrm{d}s = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$ Por lo que se tiene la Identidad de Euler: $$ \operatorname{E}_1(\mathrm{í}z) = -\operatorname{ci}(z) + \mathrm{í} \operatorname{si}(z) $$ Donde se tienen que: $$ \operatorname{E}_1(z)\overset{\mathrm{def}}{=} \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{ci}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{si}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t$$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.